扩散问题的节点型保正有限体积格式研究

论文摘要

本文主要研究各向异性扩散问题的多边形/多面体上的节点型保正有限体积格式.首先,我们构造了扩散问题的一种任意多边形上的非线性节点型保正格式.该格式以节点未知量为主未知量,单元中心未知量和边中点未知量为辅助未知量.它是国际上第一个纯节点型的非线性保正有限体积格式.与绝大多数保正格式采用动态模板不同,该格式的构造基于一个固定模板,不需要联合法向量的凸分解,避免了繁琐的搜索过程,而且辅助未知量的插值非常简单.此外,该格式不需特殊处理就能天然地克服所谓的数值热障问题.我们严格分析了格式的保正性和截断误差.为了提高计算效率,我们还讨论了 Picard迭代方法及其Anderson加速算法.数值实验表明,该格式在应用于一些大变形网格和间断/各向异性张量问题时具有二阶精度和良好的保正性.此外,我们也验证了Anderson加速的有效性.其次,我们将上述节点型格式推广到三维问题,给出了三维扩散问题的一般多面体网格上的非线性节点型保正格式.该格式继承了二维格式优点,且适用于单元面为非平面的网格.由于对偶面上的单侧流的离散是在主单元的一个固定的四面体子单元上完成的,使得算法在多面体网格上实现非常简单.随后,我们将节点型保正格式应用到二维二/三温辐射扩散系统的数值模拟中.数值结果表明该格式能够很好地模拟具有强间断性,强非线性,强耦合性的辐射扩散系统.最后,我们构造了扩散问题的多边形网格上的一类解耦的保正的离散对偶有限体积（DDFV）格式.与已有的离散对偶有限体积格式相同,我们分别在主网格和对偶网格上建立两套有限体积方程组.节点未知量方程组的系数矩阵是对称正定的,而中心未知量方程组的系数矩阵的转置是一个M-矩阵.对求得的节点未知量采取某种截断技巧可使得两组未知量都满足保正性质.该格式在对偶网格上的局部守恒性是有条件成立的,而在主单元上是无条件成立的.与已有的非线性保正格式不同,该格式对于线性问题不需要非线性迭代.对于非线性问题,由于保正机制和非线性迭代方法解耦,可以自由选取非线性求解器.此外,我们严格证明了格式的保正性以及线性问题的适定性.为了数值对比,我们还构造了一种基于插值截断的非线性中心型保正格式.数值实验表明,该解耦格式具有很高的计算效率;它在保正的同时还能够有效地避免数值热障问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 背景
•   1.2 相关工作
•     1.2.1 保正格式
•     1.2.2 理论分析
•     1.2.3 数值热障
•     1.2.4 计算效率
•   1.3 本文主要内容
•   1.4 准备工作
•     1.4.1 基本模型
•     1.4.2 网格
•     1.4.3 未知量
•     1.4.4 记号
•     1.4.5 基本假设
• 第二章 二维扩散问题的节点型保正有限体积格式
•   2.1 格式的构造
•     2.1.1 单侧流的构造
•     2.1.2 非线性两点流的构造
•     2.1.3 非线性格式
•     2.1.4 辅助未知量的插值
•   2.2 截断误差分析
•   2.3 保正性和非线性迭代方法
•     2.3.1 不动点迭代方法
•     2.3.2 Anderson加速算法
•   2.4 数值算例
•     2.4.1 光滑扩散张量问题
•     2.4.2 间断扩散张量间题
•     2.4.3 非均匀旋转各向异性问题
•     2.4.4 保正性测试
•     2.4.5 球形非线性热波问题
•   2.5 小节
• 第三章 三维扩散问题的节点型保正有限体积格式
•   3.1 记号和假设
•   3.2 保正格式的构造
•     3.2.1 单侧流
•     3.2.2 非线性流近似
•     3.2.3 Neumann边界处理
•     3.2.4 非线性格式
•     3.2.5 辅助未知量的插值
•   3.3 截断误差分析
•   3.4 代数系统和非线性迭代
•   3.5 数值算例
•     3.5.1 弱各向异性问题
•     3.5.2 强各向异性问题
•     3.5.3 间断扩散张量问题
•     3.5.4 保正性测试
•     3.5.5 非线性热波问题
•   3.6 小节
• 第四章 二/三温辐射扩散问题的节点型保正格式
•   4.1 二维三温辐射扩散问题
•   4.2 保正格式的构造
•     4.2.1 单侧流构造
•     4.2.2 流离散表达式
•     4.2.3 辅助未知量的计算
•     4.2.4 非线性格式
•   4.3 单调性和非线性迭代方法
•   4.4 数值算例
•     4.4.1 收敛性验证
•     4.4.2 数值模拟
•   4.5 小节
• 第五章 二维扩散问题解耦的保正DDFV格式
•   5.1 中心未知量的有限体积方程组构造
•     5.1.1 主网格边流离散
•     5.1.2 有限体积方程
•     5.1.3 一个新的中心型保正格式
•   5.2 节点未知量的有限体积方程组构造
•     5.2.1 对偶边流离散
•     5.2.2 有限体积方程
•   5.3 一种解耦的保正DDFV
•     5.3.1 格式构造
•     5.3.2 保正性和适定性
•   5.4 数值算例
•     5.4.1 光滑扩散张量问题
•     5.4.2 间断扩散张量问题
•     5.4.3 各向异性扩散张量问题
•     5.4.4 保正性测试
•     5.4.5 非线性问题
•     5.4.6 球形非线性热波问题
•   5.5 小节
• 第六章 总结与展望
•   6.1 总结
•   6.2 展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 苏帅

导师: 邬吉明

关键词: 扩散问题,节点型保正格式,非线性两点流近似,数值热障问题,解耦的格式

来源: 中国工程物理研究院

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 中国工程物理研究院

分类号: O241.8

总页数: 118

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