IGA与多重网格法联合求解雷诺方程的研究

论文摘要

作为流体力学的基本方程,雷诺方程的求解对于很多工程设计有非常重要的参考价值。目前,对于雷诺方程的求解已经有很多数值算法,如有限差分法和有限元法,这些算法经过验证都是可行的。差分法是一种比较快的数值计算方法,然而在精度上却存在一定的缺陷;有限元法求解精度比较高,但是其计算效率比较低。虽然很多学者对其进行了改进,但是依然难以很好解决计算精度和求解效率的问题。为了在满足计算精度的同时提高线性方程组的求解效率,本文对等几何分析(IGA)以及多重网格法进行研究,将两种方法结合起来对雷诺方程进行求解。相比于很多传统数值算法,等几何分析能以较少的自由度实现较高的计算精度,并且这种数值算法避开了有限元法中区域离散化的过程,实现CAD与CAE的无缝对接。因此在保证计算精度的同时,等几何分析的求解效率相较于其他数值算法有很大提升,再配以多重网格法进行加速求解,可以进一步有效提高其求解效率。为了让雷诺方程与等几何分析适配,文中对雷诺方程基本形式进行推导,建立适于等几何分析的求解模型。根据等几何分析的特点,由于其NURBS基函数的非插值性,其边界条件的处理不能用有限元法中常规方法进行加载。为了在等几何分析中有效地对边界条件进行加载,本文提出用配点法加载边界条件。在此基础之上,针对线性方程组的求解,文中先对高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法进行研究,然后重点研究多重网格法。文中建立基于h细化的多重网格求解模型,提出基于h细化的网格层间映射矩阵的求解方法,并基于此来对线性方程组进行加速求解。引入算例进行验证计算,发现多重网格法求解效率明显快于高斯赛德尔方法。但在多重网格法迭代过程中,其误差的减小速度在某一误差值处突然变慢,文中对这一现象进行分析和研究,提出自动调整多重网格法,该方法明显改善了收敛速度变慢的现象,使得多重网格法收敛速度变得更快。在这一基础之上,将其与SOR迭代法进行对比,发现大多数情况下多重网格法的求解效率明显优于SOR迭代法,只有当松弛因子的值接近于最佳松弛因子时,SOR迭代法的收敛速度略快于多重网格法。但鉴于目前没有一种行之有效的方法来对最佳松弛因子进行求解,因此多重网格法的求解效率总体上优于SOR迭代法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 课题背景
•   1.2 雷诺方程数值解法研究现状
•   1.3 等几何分析研究现状
•   1.4 线性方程组解法研究现状
•   1.5 论文的研究内容与结构
•     1.5.1 论文的研究内容
•     1.5.2 文章结构
• 第2章 雷诺方程的等几何分析求解模型的建立
•   2.1 引言
•   2.2 样条基本理论
•     2.2.1 B样条
•     2.2.2 NURBS样条
•   2.3 基于NURBS等几何分析基本理论
•     2.3.1 偏微分方程的边值问题
•     2.3.2 等效积分弱形式及伽辽金法
•     2.3.3 矩阵方程
•     2.3.4 矩阵组装及高斯积分
•     2.3.5 等几何分析流程
•   2.4 求解雷诺方程的等几何分析
•     2.4.1 雷诺方程的推导
•     2.4.2 雷诺方程的弱形式
•     2.4.3 刚度矩阵的推导及其组装
•   2.5 等几何分析求解效果
•     2.5.1 求解模型
•     2.5.2 求解精度比较
•   2.6 本章小结
• 第3章 边界条件的加载方法
•   3.1 引言
•   3.2 边界条件的非常规加载方法
•     3.2.1 控制点的分类
•     3.2.2 线性方程组的变换
•   3.3 求解效果及分析
•   3.4 本章小结
• 第4章 线性方程组的快速求解
•   4.1 引言
•   4.2 迭代法
•     4.2.1 迭代形式的建立
•     4.2.2 计算效果
•   4.3 SOR迭代法
•     4.3.1 SOR迭代形式的建立
•     4.3.2 收敛性判据
•     4.3.3 松弛因子的选取
•     4.3.4 SOR迭代法的求解效果
•   4.4 多重网格法
•     4.4.1 多重网格法的基本思想及种类
•     4.4.2 多重网格法的基本流程
•   4.5 本章小结
• 第5章 基于IGA的多重网格法
•   5.1 引言
•   5.2 多重网格的生成
•   5.3 多重网格法映射矩阵
•   5.4 重网格法的求解效果
•     5.4.1 多重网格法求解效果
•     5.4.2 结果分析
•     5.4.3 自动调整多重网格法
•     5.4.4 自动调整多重网格法与SOR迭代法收敛速度比较
•   5.5 本章小结
• 第6章 结论与展望
•   6.1 全文总结
•   6.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 攻读硕士学位期间发表的论文

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 李子强

导师: 罗会信

关键词: 雷诺方程,等几何分析,配点法,多重网格法,映射矩阵

来源: 武汉科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学,力学

单位: 武汉科技大学

分类号: O35;O241.8

总页数: 74

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