导读:本文包含了分数阶计算论文开题报告文献综述及选题提纲参考文献，主要关键词:时间分数阶反应-扩散方程,ASE-I格式,ASI-E格式,无条件稳定性
分数阶计算论文文献综述
党旭,杨晓忠[1]（2019）在《时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法》一文中研究指出分数阶反应-扩散方程有深刻的物理和工程背景,其数值方法的研究具有重要的科学意义和应用价值.文中提出时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法,构造了一类交替分段显-隐格式(alternative segment explicit-implicit,ASE-I)和交替分段隐-显格式(alternative segment implicit-explicit,ASI-E),这类并行差分格式是基于Saul'yev非对称格式与古典显式差分格式和古典隐式差分格式的有效组合.理论分析格式解的存在唯一性,无条件稳定性和收敛性.数值试验验证了理论分析,表明ASE-I格式和ASI-E格式具有理想的计算精度和明显的并行计算性质,证实了这类并行差分方法求解时间分数阶反应-扩散方程是有效的.(本文来源于《高校应用数学学报A辑》期刊2019年03期）
白鹭,薛定宇,孟丽[2]（2019）在《计算Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值算法》一文中研究指出研究计算Riemann-Liouville (RL)分数阶积分和导数的数值算法.首先,分析了RL分数阶积分和导数的定义式,由于定义式中包含一个积分瑕点,使RL分数阶积分和导数难于计算.然后,给出了一种去掉积分瑕点的方法,在此基础上设计出计算RL分数阶积分和导数的数值算法,并证明了此数值算法具有一阶精度.最后,给出了计算实例,计算结果说明提出的算法是有效的.(本文来源于《数学的实践与认识》期刊2019年17期）
王江,陈文[3]（2019）在《基于组合神经网络的时间分数阶扩散方程计算方法》一文中研究指出该文首次采用一种组合神经网络的方法,求解了一维时间分数阶扩散方程.组合神经网络是由径向基函数(RBF)神经网络与幂激励前向神经网络相结合所构造出的一种新型网络结构.首先,利用该网络结构构造出符合时间分数阶扩散方程条件的数值求解格式,同时设置误差函数,使原问题转化为求解误差函数极小值问题;然后,结合神经网络模型中的梯度下降学习算法进行循环迭代,从而获得神经网络的最优权值以及各项最优参数,最终得到问题的数值解.数值算例验证了该方法的可行性、有效性和数值精度.该文工作为时间分数阶扩散方程的求解开辟了一条新的途径.(本文来源于《应用数学和力学》期刊2019年07期）
张洪光,陈焕贞[4]（2019）在《二维分数阶扩散方程的最小二乘混合有限元计算》一文中研究指出本文利用最小二乘混合有限元方法对二维分数阶扩散方程进行数值模拟.通过引入扩散通量和最小二乘技术,建立了与分数阶扩散方程相适应的混合变分形式与有限元离散格式,证明了极小问题与变分问题的等价性以及离散解的存在性与唯一性,数值实验说明所提有限元格式具有较好的逼近性质.(本文来源于《山东师范大学学报(自然科学版)》期刊2019年02期）
李洋洋[5]（2019）在《分数阶动力系统模型的数值计算》一文中研究指出作为系统科学和系统理论的主要研究对象,分数阶动力系统是整数阶动力系统的推广,主要用分数阶微分方程加以描述和刻画.由于整数阶微分方程仅仅决定于函数的局部特征,而分数阶微分方程则以加权形式考虑了函数的整体信息,因此在很多方面,应用分数阶数学模型可以更准确地描述实际系统的动态响应.与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程更加复杂,这也意味着,分数阶动力系统模型的求解更加困难,往往很难求得系统的时间依赖解或解析解,需要借助数值计算的方法加以进行.因此,开展分数阶动力系统的数值计算和数值仿真具有重要理论意义和应用价值.为此,本文在深入研究各类分数阶动力系统模型的特性的基础上,运用定性分析与定量分析相结合的方法,分别设计出用于求解分数阶微分方程系统、分数阶脉冲微分方程系统、分数阶时滞微分方程系统的求解算法,并给出相应的仿真实例.仿真结果表明,这些算法是可行的,具有一定的实用性和通用性.本文研究的目的,除表明所给数值算法的有效性和通用性外,更重要的是为一般分数阶动力系统的数值计算提供可以借鉴的方法.(本文来源于《信阳师范学院》期刊2019-03-01）
刘争光[6]（2018）在《几类非局部问题及分数阶模型的数值分析及快速计算方法研究》一文中研究指出传统的微积分理论及微积分模型是我们进行理论研究、描述自然现象、指导工业应用最常用的数学理论与数学模型。我们利用这些模型及其相关的求解方法更好地认识了世界、促进了生产、便利了生活。近年来,一系列研究发现,经典的数学模型与理论框架在很多问题及现象上并不能给出准确的描述,而这些现象在自然界中随处可见,如反常超扩散、断裂问题、记忆与遗传、有关随机跳跃的非局部扩散等等。因此,这就需要突破传统模式的局限来发展新的数学理论及相关模型。随着非局部微积分算子及分数阶微积分的快速发展,非局部问题的理论研究及应用得到广泛关注。而这些非局部模型的产生能够比较好的模拟这些非局部效应。更重要的是,局部模型可以在形式上作为非局部模型的特殊情况推导得出,因此,非局部模型可看作为局部模型的一种推广。非局部模型包含的非局部项一般由非局部向量微积分算子、分数阶导数、分数阶积分等组成。虽然非局部模型的发展已经比较久远,但是非局部向量微积分是近几年才提出的。杜强教授等人[1]在2013年研究带约束的非局部扩散模型时提出了一系列的非局部向量微积分算子,包含非局部散度算子、非局部梯度算子、非局部旋度算子及其伴随算子等。而分数阶导数与分数阶积分的产生和发展却经历了很长一段时间的摸索期。其实,分数阶微积分的萌芽与经典的微积分的出现几乎处于同一时期。但直到数学家欧拉发现了伽马函数,其面纱才被慢慢揭开。这期间,数学家Laplace、Riemann、Liouville、Letnikov、Rietz等人均做出 了重要贡献。目前,比较常用的分数阶导数的定义有如下几种:Caputo导数、Riemann-Liouville导数、Grunwald-Letnikov导数、Caputo-Fabrizio导数等等。目前,比较常见的非局部模型有非局部扩散模型、近场动力学模型、时间分数阶扩散模型、空间分数阶对流扩散模型、非局部及分数阶相场模型等等。如今,非局部理论已经广泛应用于连续力学、断裂力学、量子力学、物理学、材料学、经济学、图像处理等许多方面。然而,由于非局部项的影响,导致我们在对非局部模型进行数值模拟时,产生的线性系统往往带有矩阵稠密的特点。例如,我们在使用有限元方法对近场动力学模型进行离散时,当近场动力学非局部影响域常数δ远大于剖分细度h时,得到的线性系统的系数矩阵将会是一个几乎稠密的矩阵,这就导致我们在求解矩阵方程时需要耗费巨大的计算量及存储量。分数阶模型进行数值离散时得到的线性系统也往往具有计算量及存储量的巨大需求的情况。这就要求我们提出快速求解机制,以应对在计算机内存及计算速度一定的条件下,更快更大规模地求解线性系统,以及时且准确地指导工业生产。计算速度方面存在的诸多挑战使得人们不得不考虑快速的求解机制。本文所研究的内容,就将着眼于这方面,致力于寻求合适的数值模拟方法,快速有效地求解数值格式产生的线性系统。我们所研究的方程主要为稳态的近场动力学模型、时间分数阶相关模型、分数阶相场模型,所采用的数值离散方法主要为有限元方法、有限差分方法。针对快速计算,所采用的方法主要基于快速傅里叶变换方法以降低计算量来快速求解矩阵向量乘。具体地:第一章,我们简要介绍非局部向量微积分、时间分数阶相关模型、相场模型的定义、背景及发展,以方便后面具体模型的研究。第二章,我们主要考虑稳态的一维近场动力学模型的数值模拟及快速求解。近场动力学模型是由美国Sandia国家实验室Silling教授在2000年提出的用于研究不连续长程力时提出的非局部模型[4]。目前,近场动力学模型被成功应用于不同材料和结构静力学与动力学模拟及断裂、破坏及失效分析。考虑近场动力学影响域常数δ带来的非局部特性,使得数值算法带来的巨大的计算量及存储量成为近场动力学模型数值算法的瓶颈。因此,我们提出了快速Galerkin及hp-Galerkin有限元方法以快速求解这一模型。首先,针对连续的近场动力学模型,我们使用一种快速的计算机制去计算Lagrange元分别为分片一次元、分片二次元、分片叁次元的Galerkin方法产生的线性系统。这种快速计算的机制是基于快速傅里叶变换方法降低矩阵向量乘的计算量。通过计算量及存储量分析,快速算法将使得求解矩阵方程由所需的O(N3)的计算量降为O(Nlog2N),同时,将存储量由O(N2)降为O(N),其中N为空间剖分份数。其次,考虑到近场动力学模型以积分代替微分,因此允许模型的解存在间断点,这样模型便可以用来处理断裂问题。因此,针对含有间断点的近场动力学模型,我们首先给出快速的分片常数有限元方法,在此基础上,我们使用h-及p-加密算法,我们提出了快速分片常数/分片一次Galerkin及分片常数/分片二次Galerkin方法。最后,我们给出数值算例验证我们快速算法的正确性及有效性。第叁章,我们考虑带有Caputo分数阶导数的时间分数阶常微及偏微分方程的数值离散格式及其导出的线性系统的快速算法。空间分数阶模型的快速算法一般利用系数矩阵的Toeplitz性质,使用快速傅里叶变换方法降低计算量及存储量。而时间分数阶方程导出的线性系统使用快速算法的难点在于,其系数矩阵虽为稀疏矩阵,但在求解过程中,求解新的时间层均需要所有旧层的值,这使得其整体的计算量及存储量同样花费巨大。更重要的是,由于系数矩阵并无Toeplitz性质,直接使用快速傅里叶变换的方法失效。因此,时间分数阶方程的快速算法实现发展并没有空间分数阶方程的快速算法那样完善。我们考虑不同的机制以求获取快速求解方法。首先,考虑一系列的有限差分方法求解时间分数阶方程初边值问题。由此导出的线性系统我们考虑相应的快速算法。这种快速算法是基于快速傅里叶变换实现。针对分数阶双边常微分方程的快速实现,快速算法使得求解的计算量由所需的O(N3)降为O(NMog2N),存储量由O(N2)降为O(N),这里N为剖分份数。针对时间分数阶对流方程的快速差分方法,计算求解线性系统时,我们改变时空求解顺序,不按时间层求解,而用空间点顺序求解,这样的求解方式将稀疏的系数矩阵转变为Toeplitz满矩阵,而不用按照时间层存储。将计算量将O(N2M)降为O(MNlog2N),存储量由O(NM)降为O(N),这里N=τ-1,τ为时间剖分长度,M=h-1,h为空间剖分细度。针对经典的时间分数阶扩散模型,考虑使用经典的L1离散有限差分格式及初值不光滑时的有限元格式,我们考虑所有时间层的一次性求解,并且改变近似解求解顺序,将快速傅里叶变换成功应用于矩阵向量乘,将所需计算量由之前的O(MN2)降为O(MNMog2N),而没有改变存储量。除此之外,我们考虑时间分数阶Cable方程的有限差分紧格式,给出格式的稳定性及收敛性分析,并针对格式导出的线性系统,构造并实现了快速算法。我们最后给出足够的算例证明理论分析的正确性。第四章,我们考虑非局部相场模型的无条件能量稳定性格式,并考虑快速算法实现。相场模型最初是为了绕开凝固组织模拟中追踪液固界面的困难提出的,目前在数学、力学、材料学等领域均有快速发展,已经成功应用于处理多种情境下的不可压缩两相流等问题。最近,非局部相场模型如带空间非局部算子的Cahn-Hilliard模型[84]、空间分数阶Cahn-Hilliard模型[85]、时空分数阶Allen-Cahn模型[86]、时间分数阶Cahn-Hilliard模型[87,88]等等已经吸引了越来越多人的兴趣,并且已经应用到设计物理学、材料学、经济学、图像处理等很多方面。本章主要考虑带有一般非线性项的非局部Cahn-Hilliard方程的精确、有效的线性算法的构造,并严格地证明其半离散格式的无条件能量稳定性。我们构造和分析了线性的一阶、二阶(在时间方向上)标量辅助变量(scalar auxiliary variable:SAV)方法,建立了无条件的能量稳定格式。此外,考虑到求解非局部模型产生的线性系统的巨大计算工作和内存需求,我们分析了刚度矩阵的结构,并寻求一些有效的快速计算方法来减少计算工作量和内存需求。通过引入四个转换算子A1,A2,A3,A4,我们可将线性系统的系数矩阵转换为block-Toeplitz-Toeplitz-block(BTTB)矩阵。于是,一个基于快速傅里叶变换的机制便可以快速求解带有BTTB型系数矩阵的新的线性系统。线性系统的整体计算量的花费将会是O(Nlog2N),其中N为未知量的数量。而直接使用高斯消去法求解线性系统的计算量将会是O(N3)。除此之外,由于N × N BTTB矩阵的存储只需花费O(N),而不做变换之前,存储系数矩阵需要花费的存储量将会是O(N2)。最后,我们针对各种二维模型进行了数值模拟的验证,证明了所提出格式的准确性和有效性。第五章,我们考虑时间分数阶相场模型的无条件能量稳定性格式。我们主要研究两类经典的相场模型添加Caputo时间分数阶导数,即时间分数阶Cahn-Hilliard与时间分数阶Allen-Cahn模型。针对带有非线性项及分数阶时间项的这两类模型,我们主要考虑正确有效的线性算法,并严格证明模型的能量稳定性及半离散数值格式的能量稳定性。我们考虑相场模型的数值格式时,最重要的一点就是要保持格式的能量稳定,使得能量稳定性与时间空间离散时网格剖分的粗细无关。优先考虑能量稳定的特性的原因不仅仅是因为格式需要在长时间模拟求解时仍保持正确性,还使其能应用于更加复杂的特殊问题。而且,如果格式不满足能量耗散属性,可能使得在网格或者时间步不严格控制的情况下,导致错误的离散估计。然而,考虑到两相之间的边界很薄,针对带有非线性项的相场模型如Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型,要得到保持能量稳定的离散格式往往比较困难。需要特别指出的是,针对时间分数阶Cahn-Hilliard及时间分数阶Allen-Cahn模型,无论其模型的能量稳定性还是相关数值格式的能量稳定性,目前均少有文章给予证明。这其中主要的困难在于,由于分数阶导数的存在,会出现一系列的与时间有关的干扰项。通过考虑模型的等价形式以及重新考虑时间分数阶离散的数值微分格式的系数的特性,我们成功证明了这两类分数阶模型及其离散格式的无条件能量稳定性。处理非线性项的稳定子方法及最近新发展的SAV方法被成功应用到我们的无条件稳定格式中。最后,我们考虑二维及叁维数值模拟来验证我们格式的正确性及有效性。(本文来源于《山东大学》期刊2018-11-28）
李亚杰,吴志强,章国齐[7]（2018）在《基于Caputo导数的分数阶非线性振动系统响应计算》一文中研究指出研究了含分数阶Caputo导数的非线性振动系统响应的数值计算方法。首先,由Caputo分数阶导数算子的迭加关系,得到含分数阶导数项非线性振动系统状态方程的标准形式。其次,基于Caputo导数与Riemann-Liouville导数和Grunwald-Letnikov导数间的关系,推导计算了Caputo导数的一般数值迭代格式。本文方法不要求状态方程中各分数阶导数阶数相等,弱化了已有算法中对分数阶导数阶数的限制,并可推广到多自由度的情形。随后,选择若干有解析解的算例验证了本文方法的正确性。最后,以多吸引子共存的分数阶Duffing振子系统为例,比较Caputo和GL两种算法所得结果,说明了用GL算法求解存在的问题。(本文来源于《计算力学学报》期刊2018年04期）
刘建平,张晴,毛学志[8]（2018）在《一类变时间分数阶扩散方程的数值计算方法》一文中研究指出考虑移位勒让德多项式的正交性及可计算性,在Caputo类型的变分数阶微分定义下,给出了移位勒让德多项式的微分算子矩阵。然后,利用得到的算子矩阵将变时间分数阶扩散方程转化成可利用最小二乘法求解的线性方程组。最后,通过数值算例验证了该算法的有效性及正确性。(本文来源于《河北科技师范学院学报》期刊2018年02期）
胡宁,刘财[9]（2018）在《分数阶时间导数计算方法在含黏滞流体黏弹双相VTI介质波场模拟中的应用》一文中研究指出相对于整数阶导数,分数阶微分算子可以更简洁地描述具有历史依赖性和空间全域相关性的复杂力学和物理过程。但是对分数阶波动方程进行数值模拟,计算量和存储量均较大,尤其对长时间或大计算域的模拟更是如此。文中给出了3种计算方法:全局记忆法、短时记忆法、自适应记忆法,并将这3种方法应用于含黏滞流体黏弹双相VTI(横向各向同性)介质分数阶波传播方程正演。通过对比3种方法的模拟精度、计算时间及占用内存发现:虽然短时记忆法可以通过设置短时记忆长度来调整计算时间与所占内存,但是短时记忆长度越短,精度越差;而自适应记忆法在保证精度的前提下,是短时记忆法与全局记忆法在计算时间与占用内存两方面的折衷。最后对各方法的利弊进行总结,为后续正演模拟及新的分数阶数值算法开发提供方法上的参考。在正演过程中,不仅要使所建模型更贴近实际地下介质,还需对选取的数值算法在计算时间、计算存储量和精度之间进行利弊权衡,以得到一个比较合理的数值算法。(本文来源于《吉林大学学报(地球科学版)》期刊2018年03期）
解加全[10]（2018）在《位势和非稳态热传导问题分数阶本构模型的数值计算》一文中研究指出近几十年来,分数阶微积分理论逐渐引起研究人员的重视并得到迅速发展,相对于传统整数阶微积分理论,分数阶导数理论框架下的数学模型更适用于模拟力学和工程建模中的复杂现象,能够对复杂环境中所涉及的记忆和遗传性(Heredity)、非局部性(Non-locality)、自相似性(Self-similarity)、路径依赖性(Long-range-dependence)等性质提供更为深刻全面的阐述,且模型更为简单明了。由于分数阶算子本身特有的复杂性和非局部性使得模型不能轻易的获得其解析解,通常情况下需要借助于数值方法来求解。本文主要针对工程中重要的位势问题和一维非稳态热传导问题,提炼其整数阶本构模型,并重点构建分数阶本构模型对其进行数值求解。所构建的模型和算法不仅适用于广义的分数阶,更适用于文中给定的整数阶模型。文中给出的所有测试算例均是针对实际问题抽象出一般性的数学模型,进而利用给定的数值方法进行求解。全文的核心要点主要分为以下几部分:(1)本文旨在讨论两类二维位势问题的数值解,即泊松(Poisson)方程和拉普拉斯(Laplace)方程,且满足狄利克雷(Dirichlet)和诺伊曼(Neumann)边界条件。文中首先引入块脉冲函数(Block-Pulse functions)的定义,并由此定义构建满足该基函数的向量,然后将原问题的解函数由该基向量近似表示,接着将原问题的微分项也表示成向量形式,最后离散未知变量对形成的线性方程组数值求解。数值结果表明本文给出的方法较其它数值算法构造简单、运行速度快,且能获得高的数值精度。(2)本文利用分数阶微分算子矩阵方法求解叁维位势问题Poisson方程和Laplace方程的数值解。该方法基于一维Block-Pulse函数的微分算子矩阵并构造相应的叁维Block-pulse函数的微分算子矩阵,然后将原问题的每一项同边界条件均表示成向量形式,最后离散未知变量求解。以往求解叁维位势问题数值解常用的方法是利用球谐函数和叁维Taylor级数展开,而本文提出的方法是将待求问题的解函数由叁维Block-Pulse函数展开,该方法构造简单,运行速度快,而且当级数展开达到64项时,即可达到10~(-3)10~(-4)的数值精度。(3)本文利用Chebyshev小波求解一类一维常系数非稳态热传导问题的数值解,该方法基于第二类Chebyshev小波的定义并构造相应的分数阶积分算子矩阵,然后将此积分算子矩阵应用于初始问题微分项的处理,使得原问题被转化为关于未知解的线性代数方程组,最后得到原问题的数值解。相比传统的傅里叶分析,小波能任意的提取短期负荷序列的细节,因此具有更高的数值精度,而且数值结果验证了本文所提方法的可行性及有效性。(4)针对一维非稳态变系数热传导问题,本文提出利用Chebyshev多项式进行数值求解,用正交多项式函数去逼近微分方程的基本解,所得数值结果相比解析结果能获得10~(-9)10~(-10)的收敛精度。由于本章讨论的是变系数问题,对于变系数的处理,以往处理起来都比较困难,这里通过引入乘积算子矩阵,进而将初始问题转化为统一的向量形式。另外本文还针对所讨论的问题给出了误差分析,且数值结果也表明本文提出的方法对于求解此类问题有很高的数值精度。(本文来源于《太原科技大学》期刊2018-04-10）
分数阶计算论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
研究计算Riemann-Liouville (RL)分数阶积分和导数的数值算法.首先,分析了RL分数阶积分和导数的定义式,由于定义式中包含一个积分瑕点,使RL分数阶积分和导数难于计算.然后,给出了一种去掉积分瑕点的方法,在此基础上设计出计算RL分数阶积分和导数的数值算法,并证明了此数值算法具有一阶精度.最后,给出了计算实例,计算结果说明提出的算法是有效的.
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
分数阶计算论文参考文献
[1].党旭,杨晓忠.时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法[J].高校应用数学学报A辑.2019
[2].白鹭,薛定宇,孟丽.计算Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值算法[J].数学的实践与认识.2019
[3].王江,陈文.基于组合神经网络的时间分数阶扩散方程计算方法[J].应用数学和力学.2019
[4].张洪光,陈焕贞.二维分数阶扩散方程的最小二乘混合有限元计算[J].山东师范大学学报(自然科学版).2019
[5].李洋洋.分数阶动力系统模型的数值计算[D].信阳师范学院.2019
[6].刘争光.几类非局部问题及分数阶模型的数值分析及快速计算方法研究[D].山东大学.2018
[7].李亚杰,吴志强,章国齐.基于Caputo导数的分数阶非线性振动系统响应计算[J].计算力学学报.2018
[8].刘建平,张晴,毛学志.一类变时间分数阶扩散方程的数值计算方法[J].河北科技师范学院学报.2018
[9].胡宁,刘财.分数阶时间导数计算方法在含黏滞流体黏弹双相VTI介质波场模拟中的应用[J].吉林大学学报(地球科学版).2018
[10].解加全.位势和非稳态热传导问题分数阶本构模型的数值计算[D].太原科技大学.2018
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