向量组线性相关性的证明与判定的论文初稿

问：向量组线性相关性的几种判定方法 论文

1. 答：令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关，若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
   通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
   定义
   若x1=c1，x2=c2，…，代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。
2. 答：第一种是利用向量组的秩，如果向量组满秩，则该向量组线性无关，如果不满秩则线性相关。还有一种就是将向量组化成行列式求值，若值不为0则无关，否则相关。其实就是求该向量组的秩，满秩无关，否则相关。如果相关，就把向量组化成行阶梯式，有几阶就将这个行阶梯里面的向量取出来构成最大无关组。

问：怎样证明一组向量线性相关或者线性无关

1. 答：把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。
   例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
   扩展资料：
   若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
   一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
   参考资料来源：
2. 答：证明矩阵向量组线性无关，就是把这些向量组成一个矩阵，然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。
   证明举例：A=【1 0 0】T和B=【0 1 0】T和C=【0 0 1】T，他们之间是没办法用A = b*B+c*C来表示的，或者找不到b和c，使得A = b*B+c*C成立，此时说明A和B C线性无关。反之，如果能找到b和c，使得A = b*B+c*C成立，那么A和B C线性无关。
   线性相关性质
   1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。
   2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0,则说A线性无关。
   3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
   4、含有相同向量的向量组必线性相关。
3. 答：最直观的方法，就是把这些向量组成一个矩阵，
   然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；
   然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。
   例如：
   A=[1 0 0]T 和B= [010]T 和C= [001]T， 他们之间是没办法 用 A = b*B+c*C 来表示的，或者找不到b和c，使得 A = b*B+c*C成立， 此时说明A和B C线性无关。 反之，如果能找到b和c，使得 A = b*B+c*C成立，那么A和B C线性无关

问：一个向量相关性推论的证明

1. 答：a（x1，y1）向量乘以b向量（x2，y2）等于a的模乘以b的模乘以cos（两向量夹角）等于x1x2+y1y2
   a
   b
   向量垂直
   ab＝0
   x1x2+y1y2＝0
   平行
   a＝n（其实应该读作“蓝不大”）b
   或x1y2+x2y1＝0
   a的模＝根号下x的平方+y的平方.

问：证明向量组线性相关

1. 答：方法一：b1－b2＋b3＝0，所以向量组b线性相关
   方法二：矩阵b＝(b1,b2,b3)＝(a1,a2,a3)c＝ac，其中c＝
   1
   2
   1
   -3
   1
   4
   -1
   1
   |c|＝0，所以秩(b)≤秩(c)＜3，所以向量组b线性相关

问：向量组的线性相关性证明

1. 答：(1)a1,a2,a3线性相关, 所以存在不全为0的k1,k2,k3, 使得k1*a1+k2*a2+k3*a3 = 0. 现证k1不等于0. 若k1等于0, 则存在不全为0的,k2,k3使得k2*a2+k3*a3 = 0, 进而k2*a2+k3*a3+0*a4=0, 因此a2, a3,a4线性相关, 这与题设不符. 故一定有k1不等于0, 因此a1 = k2/k1 * a2 + k3/k1 * a3.
   (2)仍然反证, 若a4能有a1,a2,a3线性表示, 再由(1)a1能由a2,a3线性表示, 因此a4能由a2,a3线性表示, 进而a2,a3,a4线性相关, 与题设矛盾.