张爱中（湖南省核工业地质局三O一大队）
摘要：在高速公路中，经常出现各种形式的曲线，本文介绍一种通用的表达式，可以很好的对各种线型进行描述，并且不需要太多的高深数学知识。
关键词：公路曲线大地坐标计算表达式
0引言
在高速公路中，经常出现各种形式的曲线，主要有直线、园曲线、缓和曲线，更有非完整的缓和曲线，非完整的缓和曲线不仅出现在匝道中，而且在主线上也有设计，为了施工放样的需要，必须计算中、边桩坐标。一般的计算方法是分段计算，各种线形的表达式都不相同。计算时每一种方法要进行计算方法的选择，本文介绍一种通用的表达式，可以很好的对各种线型进行描述，并且不需要太多的高深数学知识。现在有一种利用复化辛普森公式进行综合的方法，该方法可以对各种线形适用，但推导和计算对数学知识要求较高，如果数学基础略差，基本看不明白，如果想自己编成程序，很多人看不懂那个公式。现在介绍的方法，基本是原来教材方法的延伸，并没有引入新的知识，但可以很好地对各种线型适用。
1曲线的各种要素
对于回旋参数为A的缓和曲线，完全缓和曲线是半径从无穷大到R或从R到无穷大，而不完全缓和曲线是完全缓和曲线中的一部分，即曲率半径从R1到R2，下面讨论它的一些特性。如图1，设不完全缓和曲线回旋参数为A，起点曲率半径为R1，终点曲率半径为R2，R1>R2，不完全缓和曲线长为ls。把不完全缓和曲线的一端O1(曲率半径为R1)顺延至曲率半径为∞的O处，形成完全缓和曲线，这样就可用完全缓和曲线计算公式推导不完全缓和曲线计算公式。
O至O1的曲线长为ls1=A2·R1-1
O至O2的曲线长为ls2=A2·R1-1
ls2-ls1=lsls=A2(-)
A2=ls…………………………………………………(1)
即对于不完全缓和曲线参数:A、ls、R1、R2，只要知道其中任意3个参数就能确定另外一个。
公式(1)中，当R1取+∞时，A2=ls=（ls2-ls1）·，此时ls1=0，=0，此时A2=ls2·R2，这就是完整缓和曲线的基本公式。当R1→R2时，由于R1-R2→0，此时A→∞，也就是说当曲线为园时，A为无穷大。直线无半径为无穷大，所以A值同样为无穷大。
设不完全缓和曲线上任意点P距起点O1曲线长为l，曲率半径为R。下面确定不完全缓和曲线上任意点切线与起点切线夹角βP(这里称之为不完全缓和曲线转角)。
βP=………………………………………………(2)
即只要知道不完全缓和曲线回旋参数为A，起点曲率半径为R1，就能计算出不完全缓和曲线起点切线与不完全缓和曲线上任意一点的切线的夹角β，也即只要知道不完全缓和曲线起点切线方位角，就能计算出不完全缓和曲线上任意一点的切线的方位角。
当l=ls时，这也就是曲线的偏角。
公式（2）中，当R1取+∞时，ls1=0，=0，此时βP=，这是完整缓和曲线的偏角计算公式。曲线为园曲线时，此时A为∞，βP=，和园曲线的公式一致。当为直线时，很明显该值为0，与直线无偏角一致。
2曲线的统一公式
建立以不完全缓和曲线起点O1为原点的切线坐标系，下面按完全缓和曲线坐标公式推导方式，导出不完全缓和曲线上任意点P在此坐标系中的坐标。设P点到O1的曲线长为l。
dx=dl·cosβ
dy=dl·sinβ
将sinβ和cosβ按级数展开
由(2)式知β代入上式得
当R1趋向+∞时，公式(3)、(4)中的与R1有关的项全部变为零，即以下公式：
x=…………………………………………(5)
y=……………………………(6)
这就是完整的缓和曲线的公式。
当为园曲线时，设R1=R2=R时，此时A=+∞，公式(3)、(4)中的与A有关的项全部变为零，即以下公式：
x=l-…………………………………………(7)
y=…………………………………(8)
对在园曲线上以切线方向建立的坐标系上，有以下公式：
x=Rsin(α)
y=R(1-cos(α)
α=
将sinα和cosα按级数展开
将α=代入上式并整理即可得到（7）、（8）二个公式。
当为直线时R1、A取+∞，很明显公式(3)、(4)变成
x=ly=0，这就是直线的公式。
从以上讨论可以看出，完整缓和曲线、园曲线、直线的计算公式都是公式(3)、(4)公式的特例情况，只是参数R1和A改变而己。
如果知道了O1、O2或JD在路线测量坐标系统中的坐标和切线方位角，就能参照完整缓和曲线的计算公式，通过坐标旋转公式求出任意点P在路线测量坐标系中的坐标，采用极坐标法在测量控制点上放样出P点。
3算例
以下是利用某条高速公路上曲线计算的例子，计算结果与通过传统计公式、复化辛普森公式计算的结果对比，结果完全一致。