——对概念课《任意角的三角函数》的教学设计案例分析
王宏宁江苏省南京市第六十六中学210037
摘要：概念教学是数学课堂教学的根本，数学概念的认知对发展学生的“元认知”能力水平有至关重要的影响，是学好数学的基础。在观摩了两节同课异构的概念课教学——《任意角的三角函数》之后，笔者为了进一步突出概念课的教学目标，重新设计了此节教案，并在教学中实施后进行了分析总结。
关键词：数学概念教学高效课堂任意角的三角函数
一、课题来源，知识背景，教学目标
1.课题来源：《任意角的三角函数》是苏教版必修4第一章三角函数中“任意角的三角函数”第一课时的内容，为概念新授课。
2.知识背景：这节课是学生已有初三学习的苏教版九年级（下）第七章锐角三角函数中的锐角三角函数sinA=、cosA=、tanA=（其中∠C=90°）及苏教版必修4第一章三角函数中任意角、弧度这两块内容的认知基础。
3.教学目标：①掌握任意角的正弦、余弦和正切函数的定义。②掌握正弦、余弦和正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。
二、以实际问题引入概念，引导学生关注数学本质
【课堂实录】观看动画：一个人坐在摩天轮上，随着摩天轮转动，人的位置在改变。动画停止，图中出现点P及角α。
问题：如何用数学知识来描述摩天轮上这个人的位置变化情况？
生一：可以用角α的变化来表示。
生二：可以用点P的坐标来表示。
师：那么为了得到点P的坐标，我们需要建立直角坐标系，怎么建呢？
生三：以旋转轴为原点、水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立坐标系。
师：如果设圆的半径为r，点P（x，y），那么既然P点和角都可以表示人的位置，它们之间可以用什么关系来刻画呢？
生四：yp=rsinα，xp=rcosα。
师：很好，那我们把三角函数值表示出来可以得到什么样的式子？
生五：sinα=，cosα=，tanα=。
师：很好，请坐。显然，刚才大家利用角对应的终边上的点的坐标，表示了三角函数的值。接下来我们将研究这组三角函数值的表示方法能否表示“任意角的三角函数”。
【设计说明与效果分析】美国数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”所以在创设引入问题时，我直接引出任意角三角函数用终边上的点的坐标来表示这一教学内容的核心问题。虽然历时只有短短的7分钟，学生在经历本节概念教学之后，对引入的印象都比较深刻，也有助于学生对概念的数学本质的认识。
三、抓住概念本质属性，构建科学的概念内涵
本节课的核心目标是构建和掌握任意角的正弦、余弦和正切的函数定义。其内涵是要验证α终边上的任意点Ｐ(x，y)用于表示三角函数对应的sinα=、cosα=和tanα=的合理性、科学性与严谨性；外延是直接应用这三个三角函数定义，可以进行三角函数的符号判断、三角函数的求值等问题的应用。
【课堂实录】
活动1：首先大家讨论一下，改变P点在终边上的位置，角α的正弦是否随之改变？
结论：角的正弦、余弦、正切值只与角的大小有关，而与终边上的点的位置无关。
故此，对于终边上任一点P（x，y），都有sinα=，cosα=，tanα=，（r=x2+y2）。
活动2：利用几何画板演示，学生逐个象限观察对于任意一个α的弧度值，是否有唯一一个与之对应的三角函数值。验证sinα=满足函数的定义，cosα=、tanα=留待学生课后探究。
结论：sinα=、cosα=、tanα=就是我们要找的任意角的三角函数表示方法。它由角α的终边上任意一点的坐标确定。如下表：
活动3：根据定义，填写下面两个表。
表一：
表二：当α的终边处于不同象限时，三角函数的符号有什么特征？
【设计说明与效果分析】
概念课教学中，最核心的问题就是概念内涵的认识与理解，所以本节课堂教学中，紧扣“任意角的三角函数”的两个关键词——“任意角”和“函数”，引导学生经历和理解对任意角的三角函数下定义的准确性、科学性与严谨性，培养学生严谨治学的求学态度，有利于学生在今后的数学解题思考中回归定义，将会对他们今后的数学学习有重要的帮助。
四、概念的运用及课堂小结
例：已知角α的终边经过点P(2，-3)，求α的正弦、余弦和正切值。
变式练习：已知角α的终边经过点P(2，y)，且sinα=-，求y的值。课堂小结：任意角是由它的终边所决定，任意角的三角函数是由终边上的点的坐标来定义的。作为一种特殊的函数，它的定义域和值域见表一和表二，函数值的符号在第一象限sinα、cosα、tanα为正，在第二象限sinα为正，在第三象限tanα为正，在第四象限cosα为正。
【设计说明与效果分析】
在学生充分理解任意角的三角函数概念的基础上，用练习提高对任意角三角函数概念的解题能力，此部分和以往教学设计相同。课堂上这一块内容完成得很顺利，从另一个侧面也凸现了概念教学抓住数学的本质特征、强化学生对概念的理解后，会提高解决相关数学问题的能力和效率。
五、反思与小结
1.概念课问题情境的设置应尽量与整节教学内容的核心问题相通。一节好的概念课创设的情境问题，应该就是整节课教学内容的核心问题。
2.概念课教学，应该把概念的理解和认识放在首位。概念课教学应该从概念的数学本质入手，学生理解了概念的数学思想，掌握了相关的数学方法和解题基本技能，就能提高数学解题能力，促进他的“元认知”水平的发展，增强遇到新问题时的自我分析能力。
3.新课标下的概念课教学应该围绕更好提升学生的“元认知”水平进行设计。新课标下，不仅突出了对数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考察，还重视数学基本能力和综合能力的考察，以及数学应用意识和创新意识的考察。
参考文献
[1]陈菊芬例谈高中数学概念教学[J].科技信息，2010，5。
[2]薄丽丽论高中数学概念课的教学[J]．现代教育科研论坛，2011，5。
[3]江苏省教育考试院2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明[M]．南京：江苏教育出版社，2011。