一、椭圆方程广义差分法的误差估计（论文文献综述）
张歆野[1]（2021）在《四边形网格上非线性方程的有限体积元法》文中指出非线性方程在自然科学和社会科学领域有着广泛应用.它可以用来模拟物理过程,解决生态系统和经济系统中遇到的问题.但绝大多数非线性方程没有解析解,因此对于它的数值方法的研究具有十分重要的意义.本文针对二阶非线性椭圆方程,使用有限体积元法求解并给出严格的误差估计.首先,对求解区域进行一般凸四边形网格剖分,选取等参双线性元空间为试探函数空间,分片常数函数空间为检验函数空间,构造了相应的有限体积元格式.其次,在h2-平行四边形网格上,给出了单元的正则性假设,进而推导出双线性形式的有界性和正定性.然后,在精确解u∈H3的正则性条件下,我们将误差估计分成H1误差和L2误差两部分.H1-误差估计式中包含了L2误差,而L2-误差估计式中又包含了H1误差.利用‖u-uh‖→0（h→0）,最终得到了最佳阶的H1-和L2-误差估计,其收敛速度分别为O（h）和O（h2）.本文在任意四边形网格上进行了数值实验,计算了相应的H1-范数和L2-范数下的收敛阶.数值结果与理论结果一致,验证了理论分析的正确性.
赵洁[2]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究》文中研究说明本文的主要工作是研究几类时间分数阶偏微分方程的有限体积元方法,并将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,对两类非线性分数阶偏微分方程提出时间两层网格有限体积元快速算法.针对几类Caputo型与Riemann-Liouville型时间分数阶偏微分方程,分别建立了全离散数值计算格式,给出了全离散格式解的稳定性和收敛性等理论分析结果,并对模型方程进行了数值实验,通过实验数据验证了理论结果.本文主要考虑了分数阶反应扩散方程、非线性分数阶移动/非移动输运方程、非线性分数阶四阶反应扩散方程、非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统.具体的研究内容可以概括为如下三个部分:在第二章中,研究了一类Caputo型时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法.在时间方向上采用经典的L1公式逼近Caputo型时间分数阶导数.在空间离散过程中,针对二维有界凸多边形区域构造原始剖分和对偶剖分,分别选择分片线性多项式函数空间和分片常数函数空间作为试验函数空间和检验函数空间,通过引入插值算子Ih*,构造了全离散有限体积元格式.利用L1公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性、L2范数下的无条件稳定性和H1范数下的条件稳定性,并且得到了最优先验误差估计.最后给出两个不同空间维数的数值算例来验证数值方法的可行性.在第三章和第四章中,研究了非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法和非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法.采用二阶WSGD公式逼近两类方程中的Riemann-Liouville型时间分数阶导数,并且使用一类二阶线性化公式逼近两类模型方程中的非线性项,在处理非线性时间分数阶四阶反应扩散方程时,引入辅助变量将原问题转化为低阶耦合系统.使用插值算子Ih*,对两类方程分别建立了二阶全离散有限体积元格式和混合有限体积元格式.利用WSGD公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性和无条件稳定性结果,并且得到了最优先验误差估计,其中收敛阶和分数阶导数的参数无关.最后对两类模型方程都给出了含不同非线性项的数值算例来验证理论分析结果.在第五章和第六章中,将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,研究了带有Riemann-Liouville型时间分数阶导数的非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元快速算法.时间两层网格有限体积元方法的计算过程分三步:第一步,先在时间粗网格上利用非线性有限体积元格式迭代计算出一组粗糙解;第二步,利用时间粗网格上的粗糙解,使用Lagrange插值公式计算出时间细网格上的一组粗糙解;第三步,利用时间细网格上的粗糙解,使用一个特殊技巧建立线性化的有限体积元格式,并求解出时间细网格上的最终解.这种办法可以大幅度减少计算时间,提高计算效率.文中建立了两类模型方程的时间两层网格有限体积元格式,得到了时间粗网格和细网格下全离散解的无条件稳定性和最优先验误差估计结果.最后对两类模型方程均给出了相应的数值算例,通过对比时间两层网格方法和标准有限体积元方法的数值结果,可以看出时间两层网格有限体积元方法在保证收敛精度的同时,还在很大程度上节省了计算时间.
谭佳伟[3]（2020）在《二阶椭圆方程有限体积元法若干问题研究》文中进行了进一步梳理有限体积元法是求解偏微分方程数值解的重要方法,对求解区域进行原始剖分和对偶剖分,并在两种剖分上分别定义试探函数空间和检验函数空间,通过变分方程定义求解格式,具有计算量少,易于处理复杂区域和边界条件,保持局部守恒性等优点,在计算流体、油藏模拟等领域有广泛应用.本文研究如下三个问题:一.以二维对流扩散-对流占优问题为模型,研究了矩形网格上的迎风有限体积元法的稳定性和收敛性.取试探空间为相应于矩形网格上的双线性有限元空间,检验空间为标准的中心对偶剖分上的分片常数函数空间.对流项的处理使用迎风技术,进而定义了迎风有限体积法.首先证明了迎风有限体积元法的稳定性和H1误差估计;然后,在矩形网格长宽比满足一定限制之下,证明了极大值原理并获得最大模误差估计;最后,通过数值实验验证了方法求解对流占优模型的有效性.二.以二维Poisson方程为模型,研究了三角形网格上Hermite型三次元有限体积元法的最佳阶L2误差估计.试探函数空间为三角形网格上Hermite型三次有限元空间,检验函数空间中函数包含两种类型,分别为围绕三角形单元顶点处的对偶单元上的分片线性函数和围绕形心点处对偶单元上的分片常数函数.其L2误差估计的困难在于分片常数检验函数逼近能力弱于分片线性检验函数,这导致很早就被构造的Hermite型三次元有限体积格式的L2误差估计一直没有证明.为此我们构造了一个新的对偶剖分,使得围绕形心点处的对偶单元上满足一个正交条件,借助于这个正交条件完成了最优L2误差估计.三.针对带有反应项的各向异性扩散方程,研究任意四边形和三角形网格上保持离散极值原理的有限体积元格式.借鉴代数流修正技术,有限体积元法的刚度矩阵被分解成扩散与反扩散两部分.通过引入恰当的限制器,保证了反扩散部分不会再产生新的极值,并最终得到一个保持离散极值原理的非线性有限体积元格式.数值例子表明,该格式在扭曲网格上对具有光滑解的各向异性扩散问题能够保持与原来格式相近的精度,同时,该格式在扭曲网格上满足离散极值原理.
秦丹丹[4]（2020）在《求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法》文中研究说明高阶非线性微分方程是一类重要的数学模型,可以刻画很多学科领域中的现象,由于其实用性强,一直备受关注.本文研究了一类具有不同实际背景的四阶非线性抛物方程的数值解法,主要用B样条有限元法对两种四阶项带有变系数的四阶非线性方程进行求解,又分析了其中一种方程的常系数情形的有限体积元法.对前者,四阶项带有变系数的模型的适用性更广,理论分析难度更大.我们对变系数进行一些处理解决所遇到的困难,而这些困难是四阶项系数为常数时所没有的.对后者,充分考虑到有限体积元法的特殊性,构造了相适应的有限体积元格式.首先,本文研究了四阶主项带有变系数的非线性抛物方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该方程的常系数情形的Hermite三次有限元法,我们将四阶项的系数由常数拓展成变系数,使方程的适用范围扩大.三次B样条有限元格式的刚度矩阵的带宽为7,其阶数仅仅是Hermite三次有限元格式的一半.证明半离散解的有界性时,我们采用先积分后放缩的技巧处理四阶主项,解决了难点.借助有界性推导误差估计,L2模的收敛精度是三阶,H2半模达到二阶.关于时间变量的离散,选用了线性化的向后Euler格式,该格式的优点是可以降低非线性项的处理难度并提高数值计算的速度.利用有界性和Sobolev空间嵌入定理等,证明了L2模的收敛阶是O（?t+h3）（?t是时间步长,h是空间步长）,并用数值算例验证了理论结果.其次,我们讨论描述薄膜外延生长的高阶非线性微分方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该模型的基于Hermite三次元的向后Euler格式,但四阶项系数是常数.我们不仅拓宽了模型的使用范围,还得到了更高的收敛精度.为证明半离散问题的解在H2半模下的有界性,我们引入了相适应的能量泛函.能量泛函与常系数情形不同,处理需要技巧.比如,我们分析了能量泛函与所建格式的关系,先对Eh（t）求导,再利用变系数的限制条件进行估计.我们证明了半离散格式的解按L2模是四阶收敛的,按H2半模是二阶收敛的.变系数的存在使格式的构造更加多样,我们选用了Crank-Nicolson格式,用（?）离散非线性项,变系数增加了H2半模有界性证明的难度.在有界性的基础上,推导了L2模和H2半模误差估计,其中H2半模误差分析是此类非线性抛物方程理论分析上的难点.数值实验结果说明格式是有效的.与向后Euler格式相比,基于B样条的Crank-Nicolson格式可以得到较高的时间收敛速度,按L2模达到O（（?t）2）,而且刚度矩阵是规模较小的稀疏矩阵.最后,我们考虑刻画晶体表面生长的非线性抛物方程的Hermite三次有限体积元法.关于该方程的数值方法涉及到差分法和有限元法.由于有限体积元法的特殊性,检验函数是分片线性函数,需要用到广义函数,本文对非线性项没有按照传统的Ritz-Galerkin法那样运用分部积分公式,而是直接进行内积运算.在此基础上,构造了线性化的向后Euler格式.数值算例结果显示,Hermite三次有限体积元格式解的H2半模收敛阶是O（?t+h2）.
高峰[5]（2020）在《矩形网格上的双二次元加权迎风有限体积法》文中认为本文主要研究的是对流扩散问题的双二次元加权迎风有限体积法.加权迎风有限体积法与纯迎风有限体积法不同之处在于,对于对流项的处理通常用纯上游值代替线积分中的被积函数在对偶单元边上的值,而加权迎风有限体积格式主要由新的对偶剖分决定,而新的对偶剖分依赖于Peclet数.加权迎风双二次元有限体积法既保持了纯迎风格式的稳定性,同时具有最佳的L2收敛阶.为了构造加权迎风有限体积格式,首先对区域做矩形剖分Th,取相应于原始剖分的双二次元有限元空间Uh为试探函数空间,定义依赖于原始剖分的网格步长,对流速度和扩散系数的Peclet数,根据关于Peclet数的一个公式确定对偶剖分Th*,取相应于对偶剖分Th*的分片常数函数空间Vh为检验函数空间.求解对流扩散方程的加权迎风有限体积格式为:求uh ∈ Uh使得a（uh,vh）+b（uh,vh）=（f,vh）,（?）vh ∈ Vh.其中#12然后,我们证明了格式的稳定性:a（uh,Πh*uh）+b（uh,Πh*uh）>C|uh|12,（?）uh ∈ Uh.并获得了 H1模误差估计:|u-uh|1≤Ch2|u|3.最后,通过数值实验验证了双二次元加权迎风有限体积法的H1模收敛阶为|u-uh|1=O（h2）,而L2模收敛阶为‖u-uh‖0=O（h3）,其中L2模误差估计的证明有待于进一步研究.
腾飞[6]（2019）在《有限体积元和自然边界元基于POD降阶外推方法的几个问题研究》文中研究说明自然界的诸多实际物理问题都可以用某种发展型偏微分方程（组）来描述,然而除了极少数发展型偏微分方程（组）能求出其解析解外,绝大多数的发展型偏微分方程（组）是无法求出其解析解的,最有效、最经济的方法是求其数值解。其中,有限体积元法和自然边界元法是两种常用的有效的数值计算方法。对于大型的实际的工程问题,当我们采用经典的数值方法离散时,会产生数以千万的未知量。在计算过程中,由于截断误差的不断积累,以至于计算到若干步后会出现浮点外溢,不收敛的情况。本文主要利用特征投影分解（Proper Orthogonal Decomposition,简记POD）方法对双曲型偏微分方程的有限体积元格式和抛物型、Sobolev型、双曲型偏微分方程的自然边界元格式做基于POD的降阶外推数值计算理论和计算方法的研究。在确保经典的数值模型具有足够高精度的前提下,这些基于POD的降阶外推有限体积元模型和自然边界元模型,可以极大地减少未知量和计算量,从而达到节省计算机存储空间和提高计算效率以及减缓截断误差积累的目的。此外,本文还利用误差估计来指导POD基的个数的选取,这些都是对现有的基于POD技术的降阶方法的改进和创新。本文共六章,主要内容包括以下四个方面:第一部分（第二章）将POD降阶外推方法与有限体积元法结合建立双曲型方程的降阶外推有限体积元格式。首先,构造了双曲型偏微分方程的时间半离散格式以及经典有限体积元法的全离散格式,给出了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。然后,建立基于POD方法的双曲型偏微分方程的有限体积元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析,并利用误差估计来指导POD基的个数的选取。最后,用数值例子来验证理论方法的有效性和可行性。第二部分（第三章）主要是利用POD降阶外推方法对抛物型方程建立降阶外推自然边界元格式。首先,利用Newmark方法对抛物型方程进行时间半离散,并利用自然边界元法建立全离散格式,给出了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。然后,建立基于POD方法的抛物型偏微分方程自然边界元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。最后,用数值例子来验证理论方法的有效性和可行性。而且进一步分析了不同瞬像个数对POD降阶外推数值模型精确度的影响,并利用误差估计来指导POD基的个数的选取。第三部分（第四章）针对Sobolev型偏微分方程建立基于POD的降阶外推自然边界元法的研究。首先,构造了 Sobolev型方程的时间半离散格式和经典自然边界元法的全离散格式,分析了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性。然后,建立基于POD方法的Sobolev型偏微分方程自然边界元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。最后,用数值例子来验证理论方法的有效性和可行性。第四部分（第五章）为双曲型方程基于POD的降阶外推自然边界元法研究。首先,建立双曲型方程时间半离散格式和经典自然边界元法的全离散格式,分析了经典数值解的存在唯一性、稳定性和收敛性。然后,建立基于POD方法的双曲型偏微分方程自然边界元降阶外推格式,讨论了基于POD的降阶外推解的存在唯一性、稳定性和收敛性等理论分析。最后用数值例子验证理论的有效性和可行性。由此表明,该种方法不仅提高了时间离散的精度,而且还极大地减少了自由度和时间方向的迭代步数,从而达到减少实际计算中截断误差的积累,提高计算精度和计算效率的目的。
杜艳伟[7]（2019）在《非线性方程的有限体积元法》文中认为对于非线性椭圆及抛物方程的研究,无论是理论分析还是实际应用都很重要.本文研究了非线性椭圆及抛物方程的有限体积元法.对于非线性椭圆方程,建立了三角形网格上的二次有限体积元格式,证明了双线性形式的有界性和正定性,并给出了离散格式的最优H1-范数和L2-范数误差估计.对偶剖分采用了文献中关于线性椭圆问题二次有限体积元法的最佳对偶剖分.收敛性分析中,使用了H1-范数和L2-范数误差的相互依赖关系,这一点与有限元方法类似.此外,本文还进一步地考虑了数值积分公式对高阶格式收敛阶的影响.并使用恰当的数值积分公式,证明了最优的H1-范数和L2-范数误差估计.对导出的离散非线性问题,使用牛顿迭代法求解并证明了迭代法的二次收敛速度.数值实验验证了方法的有效性.对于时间导数项和扩散项均非线性的抛物方程,研究了线性有限体积元求解方法,证明了全离散格式的H1-范数和L2-范数最佳收敛阶.对于非线性的时间导数项的估计,主要使用有限元法的相应结果以及三角不等式来估计.给出了半离散格式和全离散格式的误差估计.对于此类强非线性方程,设计了相应的牛顿迭代法格式.典型的数值实验验证了理论结果的正确性.另外,对于一类辐射扩散方程组,利用温度与能量的关系,转化成一个特殊的带有非线性时间导数项的非线性抛物方程.建立了两个全离散有限体积元格式:守恒格式和非守恒格式.守恒格式是对非线性时间导数项整体进行离散,非守恒格式是对非线性项进行微分,然后对自变量进行离散.数值结果表明,守恒格式能够有效保持总能量不变,非守恒格式无法维持能量守恒.
方志朝[8]（2013）在《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》文中进行了进一步梳理混合有限体积元方法是将混合有限元方法和有限体积元方法相结合的一种数值方法,该方法又称为混合控制体积方法,最早是由Russell于1995年在求解一类二阶线性椭圆型问题时提出,随后Cai和Jones等人通过数值算例验证该方法的有效性,Chou和Kwak等人在该方法的理论分析方面做了大量的工作.该方法具有如下优点：采用混合元思想引入辅助变量（如梯度函数,流函数等）将高阶问题转化为低阶问题,降低对有限元空间的光滑度的要求；易于处理复杂区域和边界条件,具有有限体积元方法的格式简单性；方法的定义采用混合变分形式,可以从混合变分形式出发进行理论分析；计算量比混合有限元方法小,收敛阶和混合有限元方法相同；能够保持某些物理量（如质量,动量）的局部守恒性质.Rui和Lu于2005年将扩展混合元方法和有限体积元方法相结合,对一类二阶椭圆问题构造了矩形网格剖分下的扩展混合有限体积元方法,该方法继承了扩展元方法和有限体积元方法的优势,可以同时数值计算三个未知变量.目前关于此类方法的研究主要是基于矩形网格剖分,而在三角网格剖分下的研究还非常少,本文主要是在三角网格剖分下将此类方法求解含对流项Sobolev方程,并给出误差分析和数值模拟.近年来随着解决复杂实际数学物理问题的需要,对数值方法在计算效率上也有了更高的要求.本文结合分裂思想对扩展混合有限体积元方法进行简化,提出了一类新型的分裂扩展混合有限体积元方法.该方法在数值计算时可以先求解两个方程的耦合系统得到两个变量的数值解,再利用这两个数值解求解第三个方程得到第三个变量的数值解,这种办法在很大程度上降低了线性方程组的规模从而大幅度的减少计算时间.本文应用混合有限体积元、扩展混合有限体积元以及分裂扩展混合有限体积元方法从理论分析和数值计算两个方面对几类发展型方程进行研究,由于每一类方程都有不同的特点,从而所构造的数值格式也不相同,而且需要根据每一类方程的特点进行相应的理论分析和数值实验.在第一章中简单介绍一下混合有限元方法和混合有限体积元方法的特点和发展现状.在第二章到第四章中应用混合有限体积元方法研究三类发展型方程.其中在第二章研究了一维正则长波方程的混合有限体积元方法.通过引入一维网格剖分下的迁移算子,构造了半离散、非线性和线性向后Euler全离散混合有限体积元格式,利用椭圆投影和L2正交投影算子给出三种离散格式的最优阶误差估计,最后通过数值算例验证格式的有效性和收敛精度.第三章和第四章应用混合有限体积元方法在三角网格剖分下数值求解一类二维伪双曲型方程和非线性阻尼Sine-Gordon方程.选用最低阶Raviart-Thomas有限元空间和分片常函数空间作为解函数空间,并引入迁移算子γh将最低阶Raviart-Thomas有限元空间映射成试探函数空间,对两类方程分别构造了半离散和关于时间隐式的全离散混合有限体积元格式.通过引入广义混合有限体积投影得到半离散和全离散格式的最优误差估计,最后对两类方程分别给出一些数值结果验证了该方法的可行性.第五章将扩展混合元和混合有限体积元方法相结合构造了一类含对流项Sobolev方程的初边值问题的扩展混合有限体积元方法.该方法引入辅助变量λ=-▽u和σ=-（a▽u+6Vut）,将原问题降为一阶微分方程系统,选用最低阶Raviart-Thomas有限元空间作为变量λ和σ的解函数空间,并使用分片常函数空间作为u的解函数空间,利用迁移算子γh在三角网格剖分下构造了半离散和向后Euler全离散的扩展混合有限体积元格式.应用微分方程理论证明了半离散格式解的存在唯一性,利用迁移算子的性质和扩展混合有限体积投影得到半离散和全离散格式的最优阶误差估计.最后给出数值算例验证了方法的可行性和理论分析的正确性.第六章将扩展混合有限体积元方法和分裂思想相结合,引入和第五章一样的辅助变量λ和σ,构造了含对流项Sobolev方程的一种新型分裂扩展混合有限体积元格式.这一格式与扩展混合有限体积元格式的区别在于：扩展混合有限体积元格式需要同时求解三个方程的的耦合系统,从而在数值计算过程中生成的线性方程组的系数矩阵规模比较大,而此格式在数值计算时可以先求解两个方程的耦合系统得到变量λ和σ的数值解,再利用这两个数值解求解第三个方程得到变量u的数值解,这种办法在很大程度上降低了线性方程组的规模从而大幅度的减少计算时间.最后给出一些数值结果来验证该方法的有效性和理论结果的正确性.第七章研究了一类抛物型积分微分方程的初边值问题的分裂扩展混合有限体积元方法.引入辅助变量λ（x,t）=-（?）u（x,t）和σ（x,t）=-（a（x）（?）u（x,t）+∫0t（x,t,τ）（?）u（x,τ）dτ）,利用迁移算子γh构造了半离散和向后Euler全离散分裂扩展混合有限体积元格式,其中在全离散格式中利用左矩形数值积分公式离散积分项,利用向后Euler格式离散时间导数项.引入Volterra型扩展混合有限体积投影并利用迁移算子的性质得到了两种格式的最优阶误差估计,最后通过数值算例验证了理论分析结果.
张雪[9]（2012）在《求解对流占优反应扩散问题的有限体积元法》文中研究指明对流占优反应扩散方程是描述众多物理现象的重要数学模型之一,而由于方程本身具有很强的双曲特性,用通常的数值方法求解此类问题常常会产生过多的数值扩散和非物理的数值振荡.本文主要采用兼有有限差分方法和有限元方法之优点的有限体积元方法来研究对流占优反应扩散问题,并对所构造的有限体积元格式的稳定性和误差进行详细的理论分析,论证了其对强对流占优反应扩散问题的有效性.首先,本文将一般的对流占优反应扩散方程转化为主部守恒型的方程形式,采用了双线性有限体积元方法来求解主部守恒型的方程,即选取试探函数空间为分片双线性插值函数构成的有限元空间,检验函数空间为分片常数函数构成的有限元空间.通过对所构造的有限体积元格式的稳定性和误差分析,本文得出了按L∞模的与方程Peclet数和网格步长无关的一致稳定性以及O（h2）阶误差估计.其次,本文又采用了双二次有限体积元方法来求解对流占优反应扩散问题,即选取试探函数空间为分片双二次插值函数构成的有限元空间,检验函数空间为分片常数函数构成的有限元空间.通过对所构造的有限体积元格式的稳定性和误差分析,本文也得出了这种格式按L∞模的与方程Peclet数和网格步长无关的一致稳定性以及其在一定条件下按离散能量模的O（h3）阶误差估计.最后,本文进行了数值实验计算,将本文的两种有限体积元方法与中心差分方法进行比较,以Matlab为工具给出不同方程Peclect数下的数值结果和图像,验证了所得的理论分析结果.通过理论分析和数值实验,本文采用有限体积元方法所构造的离散格式具有很好的稳定性和逼近精度,是求解对流占优反应扩散问题的一种很有效的数值方法.
刘胜,阳莺[10]（2012）在《四边形网格上变系数抛物型方程有限体积元法的L2模误差估计》文中研究说明在h2拟平行四边形条件下,给出变系数抛物型方程一个半离散和两个全离散有限体积元格式的L2模最佳收敛阶误差估计.
二、椭圆方程广义差分法的误差估计（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、椭圆方程广义差分法的误差估计（论文提纲范文）
（1）四边形网格上非线性方程的有限体积元法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 预备知识 |
| 第三章 有限体积元法 |
| 3.1 基本介绍 |
| 3.2 双线性形式的有界性和正定性 |
| 第四章 误差估计 |
| 4.1 H~1-范数误差估计 |
| 4.2 L~2-范数误差估计 |
| 第五章 数值实验 |
| 第六章 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分数阶偏微分方程有限体积元方法的研究现状 |
| 1.2 本文的主要研究工作和文章结构 |
| 第二章 时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 全离散有限体积元格式 |
| 2.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 2.3.1 一些引理 |
| 2.3.2 存在唯一性 |
| 2.3.3 稳定性 |
| 2.4 先验误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 结论 |
| 第三章 非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 全离散有限体积元格式 |
| 3.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 3.3.1 一些引理 |
| 3.3.2 存在唯一性 |
| 3.3.3 稳定性分析 |
| 3.4 先验误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全离散混合有限体积元格式 |
| 4.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 4.4 先验误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 结论 |
| 第五章 非线性时间分数阶Cable方程的时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 先验误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 结论 |
| 第六章 非线性时间分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.3 稳定性分析 |
| 6.4 先验误差估计 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（3）二阶椭圆方程有限体积元法若干问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 有限体积元法 |
| 1.2 对流扩散方程 |
| 1.3 L~2误差估计 |
| 1.4 极值原理 |
| 1.5 本文主要工作 |
| 第二章 矩形网上迎风有限体积元法 |
| 2.1 迎风有限体积法 |
| 2.1.1 原始剖分与对偶剖分 |
| 2.1.2 试探函数空间和检验函数空间 |
| 2.1.3 迎风有限体积格式 |
| 2.2 迎风格式的稳定性 |
| 2.3 H~1模误差估计 |
| 2.4 极值原理和L~∞-模误差估计 |
| 2.5 数值实验 |
| 第三章 Hermite型三次有限体积元法最优L2误差估计 |
| 3.1 三次Hermite有限体积元法 |
| 3.2 正交性条件 |
| 3.3 强制性和H~1模误差估计 |
| 3.4 L~2 模误差估计 |
| 3.5 数值试验 |
| 第四章 带反应项各向异性扩散方程的受限有限体积元法 |
| 4.1 对称有限体积元法 |
| 4.2 代数流修正格式 |
| 4.3 极值原理和离散极值原理 |
| 4.4 限制因子α_(ij)的定义 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 光滑系数问题收敛性测试 |
| 4.5.2 系数间断问题收敛性测试 |
| 第五章 结论与后续研究工作 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（4）求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 高阶非线性抛物方程的背景介绍 |
| 1.1.1 描述晶体表面生长的高阶非线性微分方程 |
| 1.1.2 描述薄膜外延生长的四阶非线性抛物方程 |
| 1.2 B样条函数简介 |
| 1.3 数值方法简介 |
| 1.3.1 有限元方法 |
| 1.3.2 有限体积元法 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 描述晶体表面生长模型的B样条有限元法 |
| 2.1 半离散格式 |
| 2.2 全离散格式 |
| 2.3数值实验 |
| 第三章 描述薄膜外延生长模型的B样条有限元法 |
| 3.1 半离散格式 |
| 3.2 全离散格式 |
| 3.3数值实验 |
| 第四章 描述晶体表面生长模型的有限体积元法 |
| 4.1 有限体积元法 |
| 4.2数值实验 |
| 第五章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（5）矩形网格上的双二次元加权迎风有限体积法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 矩形网格上的加权迎风双二次元有限体积法 |
| 2.1 原始网格剖分和试探函数空间 |
| 2.2 对偶剖分与检验函数空间 |
| 2.3 双二次有限体积法 |
| 第三章 误差分析 |
| 第四章 数值例子 |
| 第五章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（6）有限体积元和自然边界元基于POD降阶外推方法的几个问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究的目的和意义 |
| 1.2 国内外研究进展 |
| 1.2.1 基于POD的降阶外推有限体积元法介绍 |
| 1.2.2 基于POD的降阶外推自然边界元法介绍 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第2章 双曲型方程基于POD的降阶外推有限体积元法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 双曲方程的经典有限体积元法和瞬像生成 |
| 2.2.1 时间半离散格式及误差分析 |
| 2.2.2 全离散有限体积元格式及误差分析 |
| 2.3 构造POD基和建立基于POD基的降阶外推有限体积元格式 |
| 2.4 基于POD的降阶外推有限体积元解的误差分析及算法实现 |
| 2.4.1 基于POD的降阶外推有限体积元解的误差分析 |
| 2.4.2 基于POD的降阶外推有限体积元格式的算法实现 |
| 2.5 数值例子 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 抛物型方程基于POD的降阶外推自然边界元法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 抛物方程的经典自然边界元法和瞬像生成 |
| 3.2.1 时间半离散及误差分析 |
| 3.2.2 圆外区域上的自然边界归化 |
| 3.2.3 自然边界元法解的收敛性分析 |
| 3.3 构造POD基和建立基于POD基的降阶外推自然边界元格式 |
| 3.4 基于POD的降阶外推自然边界元解的误差分析及算法实现 |
| 3.4.1 基于POD的降阶外推自然边界元解的存在性和收敛性分析 |
| 3.4.2 基于POD的降阶外推自然边界元法的算法实现 |
| 3.5 数值例子 |
| 3.5.1 规则区域问题的数值例子 |
| 3.5.2 不规则区域问题的数值例子 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 Sobolev方程基于POD的降阶外推自然边界元法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Sobolev方程的经典自然边界元法和瞬像生成 |
| 4.2.1 时间半离散及误差分析 |
| 4.2.2 圆外区域上的自然边界归化 |
| 4.2.3 自然边界元法解的收敛性分析 |
| 4.3 构造POD基和建立基于POD基的降阶外推自然边界元格式 |
| 4.4 基于POD的降阶外推自然边界元解的误差分析及算法实现 |
| 4.4.1 基于POD的降阶外推自然边界元解的存在性和收敛性分析 |
| 4.4.2 基于POD的降阶外推自然边界元法的算法实现 |
| 4.5 数值例子 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 双曲型方程基于POD的降阶外推自然边界元法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 双曲方程的经典自然边界元法和瞬像生成 |
| 5.2.1 时间半离散及误差分析 |
| 5.2.2 圆外区域上的自然边界归化 |
| 5.2.3 自然边界元法解的收敛性分析 |
| 5.3 构造POD基和建立基于POD基的降阶外推自然边界元格式 |
| 5.4 基于POD的降阶自然边界元解的误差分析及算法实现 |
| 5.4.1 基于POD的降阶外推自然边界元解的存在性和收敛性分析 |
| 5.4.2 基于POD的降阶外推自然边界元法的算法实现 |
| 5.5 数值例子 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 本文的主要结论 |
| 6.2 未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 攻读博士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（7）非线性方程的有限体积元法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性椭圆方程 |
| 1.2 非线性抛物方程 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 非线性椭圆方程的二次有限体积元法 |
| 2.1 二次有限体积元法 |
| 2.2 双线性形式的有界性和正定性 |
| 2.3 H~1-范数误差估计 |
| 2.4 L~2-范数误差估计 |
| 2.5 数值积分的影响 |
| 2.6 牛顿迭代法 |
| 2.7 数值实验 |
| 第三章 非线性抛物方程的线性有限体积元法 |
| 3.1 有限体积元格式 |
| 3.2 半离散误差估计 |
| 3.3 全离散误差估计 |
| 3.4 数值实验 |
| 第四章 辐射扩散方程的线性有限体积元法 |
| 4.1 有限体积元格式 |
| 4.2 数值实验 |
| 第五章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（8）发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 混合有限元方法简介 |
| 1.2 混合有限体积元方法发展状况介绍 |
| 1.3 本文的研究内容和文章结构 |
| 第二章 正则长波方程的混合有限体积元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 半离散混合有限体积元形式 |
| 2.2.1 半离散格式 |
| 2.2.2 迁移算子的性质 |
| 2.2.3 半离散解的稳定性和存在唯一性 |
| 2.2.4 误差估计 |
| 2.3 全离散混合有限体积元形式 |
| 2.3.1 非线性向后Euler格式 |
| 2.3.2 线性向后Euler格式 |
| 2.4 数值算例 |
| 第三章 伪双曲型方程的的混合有限体积元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 三角网格剖分和迁移算子 |
| 3.3 半离散混合有限体积元形式 |
| 3.3.1 半离散格式 |
| 3.3.2 广义混合有限体积投影 |
| 3.3.3 半离散格式的误差估计 |
| 3.4 全离散混合有限体积元形式 |
| 3.4.1 全离散格式 |
| 3.4.2 全离散格式的误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 第四章 阻尼Sine-Gordon方程的混合有限体积元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 半离散混合有限体积元格式 |
| 4.2.1 半离散格式 |
| 4.2.2 半离散格式的误差估计 |
| 4.3 全离散混合有限体积元格式 |
| 4.3.1 全离散格式 |
| 4.3.2 全离散格式的误差估计 |
| 4.4 数值算例 |
| 第五章 含对流项Sobolev方程的扩展混合有限体积元方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 半离散扩展混合有限体积元形式 |
| 5.2.1 半离散格式 |
| 5.2.2 一些引理和扩展混合有限体积投影 |
| 5.2.3 半离散解的存在唯一性 |
| 5.2.4 半离散格式的误差估计 |
| 5.3 全离散扩展混合有限体积元形式 |
| 5.3.1 全离散格式 |
| 5.3.2 全离散格式的误差估计 |
| 5.4 数值算例 |
| 第六章 含对流项Sobolev方程的分裂扩展混合有限体积元方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 半离散分裂扩展混合有限体积元形式 |
| 6.2.1 半离散格式 |
| 6.2.2 半离散解的存在唯一性 |
| 6.2.3 半离散格式的误差估计 |
| 6.3 全离散扩展混合有限体积元形式 |
| 6.3.1 全离散格式 |
| 6.3.2 全离散格式的误差估计 |
| 6.4 数值算例 |
| 第七章 抛物型积分微分方程的分裂扩展混合有限体积元法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 半离散分裂扩展混合有限体积元形式 |
| 7.2.1 半离散格式 |
| 7.2.2 一些引理 |
| 7.2.3 半离散解的存在唯一性 |
| 7.2.4 半离散格式的误差估计 |
| 7.3 全离散扩展混合有限体积元形式 |
| 7.3.1 全离散格式 |
| 7.3.2 全离散格式的误差估计 |
| 7.4 数值算例 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（9）求解对流占优反应扩散问题的有限体积元法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 对流占优反应扩散问题的研究现状及发展动态 |
| 1.2.2 有限体积元方法的研究现状及发展动态 |
| 1.3 研究意义 |
| 1.4 本文的主要研究内容与结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 有限体积元方法 |
| 2.2 插值法 |
| 2.3 椭圆型差分算子 |
| 2.3.1 椭圆型差分算子的定义 |
| 2.3.2 椭圆型差分算子的极值定理和比较定理 |
| 2.4 正定二次型 |
| 2.4.1 正定二次型的定义 |
| 2.4.2 正定二次型的相关定理 |
| 2.5 数学分析的相关知识 |
| 第3章 分片双线性插值函数空间的有限体积元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题描述 |
| 3.3 问题的等价形式和有限体积元格式的构造 |
| 3.4 解的稳定性及误差分析 |
| 3.4.1 解的稳定性分析 |
| 3.4.2 解的误差分析 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 分片双二次插值函数空间的有限体积元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题的双二次有限体积元格式的构造 |
| 4.3 双二次有限体积元格式的稳定性及误差分析 |
| 4.3.1 双二次有限体积元格式的稳定性分析 |
| 4.3.2 双二次有限体积元格式的误差分析 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 数值计算 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值实例 |
| 5.3 数值算例的Matlab求解及稳定性和误差分析 |
| 5.4 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）四边形网格上变系数抛物型方程有限体积元法的L2模误差估计（论文提纲范文）
| 1 网格剖分条件及相关引理 |
| 2 L2模最佳收敛阶误差估计 |
| 2.1 半离散格式的L2误差估计 |
| (1.1) 式的半离散有限体积元格式与 (1.2) 式相减可得 |
| (2.8) 式两边对t求积分并利用Gronwall不等式可得 |
| 2.2 全离散格式的L2误差估计 |
四、椭圆方程广义差分法的误差估计（论文参考文献）
- [1]四边形网格上非线性方程的有限体积元法[D]. 张歆野. 吉林大学, 2021(01)
- [2]几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究[D]. 赵洁. 内蒙古大学, 2020
- [3]二阶椭圆方程有限体积元法若干问题研究[D]. 谭佳伟. 吉林大学, 2020(08)
- [4]求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法[D]. 秦丹丹. 吉林大学, 2020(08)
- [5]矩形网格上的双二次元加权迎风有限体积法[D]. 高峰. 吉林大学, 2020(08)
- [6]有限体积元和自然边界元基于POD降阶外推方法的几个问题研究[D]. 腾飞. 华北电力大学(北京), 2019(01)
- [7]非线性方程的有限体积元法[D]. 杜艳伟. 吉林大学, 2019(10)
- [8]发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟[D]. 方志朝. 内蒙古大学, 2013(11)
- [9]求解对流占优反应扩散问题的有限体积元法[D]. 张雪. 东北大学, 2012(05)
- [10]四边形网格上变系数抛物型方程有限体积元法的L2模误差估计[J]. 刘胜,阳莺. 广西科学院学报, 2012(02)