关键词：三角函数；化简求值；教师；学生
一、给角求值
我们称三角函数式中出现一些不能通过诱导公式化归为像300，450，600，900，1800，2700，3600的角为非特殊角，像这类的求值问题，我们归结为给角求值问题。
例1.【2013重庆第9题】4cos500-tan400=.
解析：4cos500-tan400=4cos500-==
==cos100-,2)sin100,cos400)=(,2)cos100-sin100),cos400)
=(cos300cos100-sin300sin100),cos400)=cos(300+100),cos400)=
点评：本题解题思路为切化弦通分→统一角为400→通过二倍角正弦逆向使用化简→分子通过诱导公式和和角公式统一成100→通过辅助角公式又统一到400上来→整体约式即求得原式的值。
【触类旁通·练习】不查表求(1+tan210)(1+tan220)(1+tan230)(1+tan240)的值。
解析1：(1+tan210)(1+tan220)(1+tan230)(1+tan240)
=(1+)(1+)(1+)(1+)
=···
=sin660,cos210)·sin670,cos220)·sin680,cos230)·sin690,cos240)
=cos240,cos210)·cos230,cos220)·cos220,cos230)·cos210,cos240)
=4
解析2：(1+tan210)(1+tan220)(1+tan230)(1+tan240)
=[(1+tan210)(1+tan240)][(1+tan220)(1+tan230)]
=(1+tan210+tan240+tan210tan240)(1+tan220+tan230+tan220tan230)
1+tan(210+240)(1-tan210tan240)+tan210tan240][1+tan(220+230)(1-tan220tan230)+tan220tan230]
=2×2=4
点评：解法1思路为每个因子切化弦通分→分子通过辅助角公式合成一个角→分子分母约式化简得原式的值.解法2思路为观察式子结构特点重组→利用两角和正切公式的变形使用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)由简变繁→通过tan450=1由繁变简求得值.利用这两种解法均容易求得(1+tan200)(1+tan210)(1+tan220)(1+tan230)(1+tan240)(1+tan250)=23=8；(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30)……(1+tan430)(1+tan440)(1+tan450)=223
二、化简求值
当三角函数式中出现一些用字母表示的角，而角的范围就是使式子有意义的所有角，像这类的求值问题，我们归结为化简求值问题。
例2.【2013高水平大学（北约）自主选拔学业能力测试】
对于任意角θ，求32cos6θ–cos6θ–6cos4θ-15cos2θ的值.
解析：32cos6θ–cos6θ–6cos4θ-15cos2θ=32（）3-cos(4θ+2θ)-6(2cos22θ-1)-15cos2θ
=4(cos32θ+3cos22θ+3cos2θ+1)-cos4θcos2θ+sin4θsin2θ-12cos22θ+6-15cos2θ
=4cos32θ-3cos2θ+10-2cos32θ+cos2θ+2sin22θcos2θ
=2cos32θ-2cos2θ+10+2cos2θ-2cos32θ=10
点评：利用cos6θ=（cos2θ）3，结合平方降次公式和完全立方公式，将cos6θ中的角θ统一到2θ上来；利用两角和的余弦公式，二倍角正、余弦公式及同角三角函数基本关系式将cos6θ展开统一到2θ上来；利用二倍角余弦公式将cos4θ展开统一到2θ.最后化简整理便得结果，另外该题可利用特值法，比如令θ=0，检验结果正确与否。
三、给值求值
给值求值是指已知某个或某些角的三角函数值，求与之存在和、差、倍、半关系或诱导关系的角的三角函数值，给值求值是条件求值的一种。
例3.【新课标全国卷2第15题】设θ为第二象限角，若tan(θ+)=，则sinθ+cosθ=_________。
解析1：∵θ为第二象限角，tan(θ+)=∴θ+应在第三象限∴sin(θ+)=-,5)
∴sinθ+cosθ=sin(θ+)=-,5)
解析2：∵tan(θ+)=∴=∴tanθ=-又∵θ为第二象限角∴sinθ=,10)
cosθ=-,10)∴sinθ+cosθ=-,5)
点评：解法1是通过观察发现运用辅助角公式可将θ统一到θ+，即未知走向已知.解法2是通过观察发现由已知条件易求得tanθ的值，而已知一个角的三角函数可求得其余三角函数的值，即已知走向未知。
【触类旁通·练习】
已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,则sin2α=()
解析：∵＜β＜∴-＜-β＜-又＜α＜且β＜α∴α－β∈[0,],又cos(α－β)=∴sin(α－β)=，同理分析得α+β∈[π，]，∴cos(α+β)=－∴sin2α=
sin[(α+β)+(α－β)]=sin(α+β)cos(α－β)+cos(α+β)sin(α－β)=－－=－
点评：通过观察待求式中的角2α与已知条件中的角α－β、α+β有和的关系，利用整体的思想，化归转化为和角公式解决.本题有的学生会将条件通过两角和与差的三角函数展开，这样就变得很复杂，几乎做不出来.该题启示我们当待求角与已知条件中的角有和、差、倍、半或诱导关系时，常采用整体的思想结合我们学过的基本公式，这样显得干净利落.
四、给式求值
给式求值是指已知一些三角函数式，求与之相关的另一个三角函数式的值.给式求值是条件求值的一种.当条件中的三角函数式或待求式比较复杂时，通常要将条件和待求式先化简，再通过观察、思考、联想、转化找衔接点.
例4【2013高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试】
已知sinx+siny=,cosx-cosy=,求sin(x-y),cos(x+y)的值.
解析：联立sinx+siny=1和cosx-cosy=2，12+22得2-2cos(x+y)=，cos(x+y)=.1×2得sinxcosx-sinycosy-(sinxcosy-cosxsiny)=，即sin2x–sin2y–
sin（x–y）=，即sin[(x+y)+(x-y)]-sin[(x+y)–(x-y)]–sin（x–y）=，应用和差角三角公式展开整理得cos(x+y)sin(x-y)–sin(x-y)=，即–sin(x-y)=，sin(x-y)=–
点评：在给式求值这类题型中，当条件中的两个式子是很整齐对称的齐次式时，通常是联立两式观察，通过四则运算或平方后再四则运算寻求已知与未知的联系.在新课程标准和考试大纲下，学生不知道和差化积化式，所以该题对sin2x–sin2y的化简是一个难点，涉及2x=(x+y)+(x-y)，2y=(x+y)-(x-y)的拆分、拼凑，从而架起从未知到已知的桥梁.
【触类旁通·练习】已知3sinα+cosα=0,求=.
解析：∵3sinα+cosα=0∴tanα=－∴===
点评：将条件化简得tanα的值，已知tanα的值求其它较复杂三角函数式的值时，通常巧用“1”的代换，将待求式转化为关于tanα的一元表达式，再代入tanα的值，便可求值.“1”有时还用tan450代换，比如==tan(450+150)=,类比可求得+3tan150,3-tan150)=,3)+tan150,1-,3)tan150)==tan450=1.
三角函数式的化简和求值是高考命题的热点，学生学习的难点，许多学生只满足于对题目一招一式的拆解，所以尽管做了大量题目，还是“只见树木，不见森林”，只是凭感觉、凭运气做题，准确率难以得到保证。这块内容由于公式多、方法多，学生一定要养成反思、总结的习惯，树立相关的解题意识，比如化简与求值的基本思想方法有升幂降幂法，切化弦法，“1”的代换法，寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确灵活地运用公式(正用、逆用、变用)，可做到观念先行，在观念指导下的解题，可以有效避免解题的盲目性，提高解题的准确性与解题效率。
(作者单位：浙江省磐安中学322300)