几类结构化矩阵问题的的迭代方法研究

论文摘要

本文主要研究了以下几个方面的内容:大型稀疏线性方程组中鞍点问题的求解,非线性矩阵方程中耦合代数Riccati矩阵方程的求解,以及Krylov子空间方法在数据降维中的应用.具体研究内容如下:第二章,提出求解广义鞍点问题的ASOR-like方法.首先,基于求解一般鞍点问题的ASOR-like方法,提出求解广义鞍点问题的ASOR-like方法.通过分析迭代矩阵的特征对的相关性质,给出保证ASOR-like方法求解广义鞍点问题时迭代收敛的充分条件.通过比较多种求解广义鞍点问题的方法,数值结果验证了新方法的有效性.第三章,提出求解一般鞍点问题的修正ASOR-like方法.为了对两参数ASOR-like方法进行加速,我们在ASOR-like方法中引入一个新的参数,提出修正ASOR-like方法.同样地,通过对其迭代矩阵的特征对的性质进行分析,给出迭代收敛的充分必要条件.此外,我们讨论了参数的选择方式,并在数值实验部分验证了该种参数选择方式的合理性.通过与其它算法的比较,数值结果说明了修正的ASOR-like方法的优越性.第四章,讨论Newton方法求解离散时间的耦合代数Riccati方程（cDARE）的相关理论.通过运用Newton方法,离散时间的耦合Riccati方程的求解问题可转化为耦合Stein方程的求解问题.我们给出了几种求解耦合Stein方程的迭代算法,并通过分析迭代矩阵的结构对上述迭代方法求解耦合Stein方程的收敛性进行分析.基于上述分析,我们讨论Newton方法求解离散时间的耦合代数Riccati方程的可解性和二次收敛性,并给出Newton方法求解cDARE的算法.最后数值实验说明了新算法的可行性.第五章,讨论Newton方法求解连续时间的耦合代数Riccati方程（cCARE）的相关理论.应用Newton方法对连续时间的耦合Riccati方程进行线性化,可将连续时间的耦合Riccati方程的求解问题转化为耦合Lyapunov矩阵方程的求解问题.针对耦合Lyapunov方程的求解,我们讨论了几种迭代方法,分析其收敛性.并结合上述分析进一步说明了Newton方法求解cCARE的可解性及二次收敛性.最后,给出Newton方法求解cCARE的具体算法实施步骤并用数值算例验证算法的有效性.第六章,给出不精确Krylov子空间方法求解矩阵指数判别分析的算法.首先,讨论了高效计算矩阵指数与向量乘积的算法,然后通过分析求解矩阵指数特征值问题的精度与最近邻分类器的距离之间的关系说明不精确求解策略的可行性.并结合上述分析给出不精确Krylov方法求解指数判别分析的算法.此外,通过给出线性判别分析（LDA）与指数判别分析（EDA）判别准则的理论比较,从理论上说明EDA算法的优越性.最后,基于多个人脸数据库上的数值实验验证了理论结果并说明了所提出的算法的高效性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号表
• 第一章 绪论
•   1.1 课题研究的背景与现状
•   1.2 本文的结构与主要内容
•   1.3 本文的创新点
• 第二章 求解广义鞍点问题的ASOR-like方法
•   2.1 引言
•   2.2 理论分析
•     2.2.1 求解鞍点问题的ASOR-like方法
•     2.2.2 求解广义鞍点问题的ASOR-like方法
•     2.2.3 收敛性分析
•   2.3 数值实验
•   2.4 本章小结
• 第三章 求解增广线性系统的修正ASOR-like方法
•   3.1 引言
•   3.2 理论分析
•     3.2.1 求解增广线性系统的修正ASOR-like方法
•     3.2.2 收敛性分析
•     3.2.3 参数选择
•   3.3 数值实验
•   3.4 本章小结
• 第四章 Newton方法求解离散时间的耦合代数Riccati方程
•   4.1 引言
•   4.2 理论分析
•     4.2.1 耦合Stein方程
•     4.2.2 解的存在唯一性
•     4.2.3 二次收敛性
•     4.2.4 Newton法求解c DARE的算法
•   4.3 数值实验
•   4.4 本章小结
• 第五章 Newton方法求解连续时间的耦合代数Riccati方程
•   5.1 引言
•   5.2 理论分析
•     5.2.1 耦合Lyapunov方程
•     5.2.2 解的存在唯一性
•     5.2.3 二次收敛性
•     5.2.4 Newton方法求解c CARE的算法
•   5.3 数值实验
•   5.4 本章小结
• 第六章 Krylov子空间方法在大规模指数判别分析中的应用
•   6.1 引言
•   6.2 预备知识
•     6.2.1 指数判别分析 （EDA） 方法
•     6.2.2 Arnoldi与Lanczos算法
•   6.3 求解EDA的不精确Krylov子空间方法
•     6.3.1 矩阵指数与向量乘积的有效计算
•     6.3.2 EDA与LDA判别准则的比较
•     6.3.3 矩阵指数特征值问题的近似求解
•   6.4 数值实验
•   6.5 本章小结
• 第七章 总结与展望
• 参考文献
• 作者简历
• 博士在读期间所取得的科研成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 冯亭亭

导师: 陈果良

关键词: 鞍点问题,修正方法,收敛性,迭代方法,马尔科夫跳跃线性系统,耦合代数方程,方法,数据降维,指数判别分析,矩阵指数,子空间方法

来源: 华东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 华东师范大学

分类号: O241.6

总页数: 140

文件大小: 3452K

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