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摘要：小波阈值滤波方法是实现最简单、计算量最小的一种故障诊断方法，因而应用最广泛。本文着重介绍小波阈值滤波方法，阈值方法可以很好地保留图像边缘和细节等局部特征，但图像会出现振铃，伪Gibbs效应等视觉失真现象，而软阈值处理结果则相对平滑的多。
关键词：小波包；阈值；故障诊断
Faultdiagnosisbasedonwaveletthresholdfilteringmethod
JiangXueLi
（DatangEnvironmentIndustryGroupCo.，Ltd）
Abstract：Thewaveletthresholdfilteringmethodisafaultdiagnosismethodwiththesimplestrealizationandthesmallestcalculation，soitismostwidelyused.Thispapermainlyintroducesthewaveletthresholdfilteringmethod，whichcanwellretainlocalfeaturessuchasimageedgesanddetails，buttherewillbevisualdistortionphenomenasuchasringing，falseGibbseffect，andsoftthresholdprocessingresultsarerelativelysmooth.
Keywords：Waveletpacket；threshold；Faultdiagnosis
引言
目前，小波去噪方法已成为去噪的一个重要分支和主要研究方向，在过去的十多年，小波滤波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。具有“数字显微镜”之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性，可同时进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波。利用小波对含噪信号进行处理时，可有效地达到滤除噪声和保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。
1小波滤波方法
1.1小波滤波原理
目前，小波去噪方法已成为去噪的一个重要分支和主要研究方向，在过去的十多年，小波滤波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。具有“数字显微镜”之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性，可同时进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波。利用小波对含噪信号进行处理时，可有效地达到滤除噪声和保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。
小波去噪方法属于变换域去噪方法，从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其流程框图如图1所示。
图1小波去噪框图
小波分析由于能同时在时频域中对信号进行分析，并且在频域内分辨率高时，时域内分辨率低；在频域内分辨率低时，时域内分辨率，且具有自动变焦功能。因此能够在有效地区分信号中的突变部分和噪声高，从而可以用来降噪。
1.2小波滤波方法
小波分析在信号去噪方面所表现出的优势及其潜力，使其一直是研究的热点，而且也取得了一定的成果。目前，小波去噪方法大概可分为三大类：第一类方法是由Mallat提出的小波变换模极大值去噪方法[1]；第二类方法是基于小波变换的相关去噪方法[2]；第三类方法是Donoho提出的阈值方法[3]。该方法认为信号对应的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少；而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值小。
1.2.1模极大值重构滤波
模极大值重构滤波主要根据信号和噪声小波系数随尺度增大具有不同的变化规律来滤波[4]。
突变点是描述一个瞬态信号的重要特征，信号的奇异点就是信号中的突变点，如何检验信号的突变点具有实际意义。Mallat等人建立了小波变换与刻画信号奇异性的lipschitz指数之间的关系：设0≤α≤1，存在常数k>0，使信号f（x）的指数Lipschitz与小波变换模极大值满足
（1.1）
由式（1.1）可知，对于一般信号，由于α≥0，小波变换的模极大值将随着的增大而增大；而对于白噪声，α<0，其模极大值随j着的增大而减小。因此，根据不同尺度间小波变换模极大值变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的极值点，保留幅度随尺度增加而增大的极值点，再由保留的模极大值用交替投影法进行重建，可达到去噪目的。
信号的模极大值重构是利用信号在各个尺度上小波系数的模极大值来重构信号。信号小波系数的模极大值包含了信号的峰变性与奇异性。如果可以从这些极大值来重构信号，那么就可以通过处理小波系数的模极大值而实现对信号奇异性的修改，可以通过改变模极大值来修改奇异性的强度，也可以通过抑制某些极大值点而去除相应的奇异性，这是模极大值重构滤波的基本思想。
1.2.2空域相关滤波
Witkin首先提出了利用尺度空间相关性来对信号滤波的思想，对含噪信号经过子带分解后，从粗尺度到细尺度逐步搜索信号的主要边缘，最终从噪声背景中得到真实信号。Xu在此基础上，于1994年提出了空域相关滤波的方法。
信号经小波变换之后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其是在信号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。因此，利用小波系数在不同尺度上对应点处的相关性来区分系数的类别，从而进行取舍，达到去噪的目的。
由于信号的突变点有良好的局部性质，并且出现在各个尺度上，而噪声的能量却集中在小尺度上，其小波系数随着尺度的增大而迅速衰减。MALLAT和HWANG指出，对正态白噪声来说，其在尺度j+1上的局部模极大值点的平均数目为尺度j上的一半。也就是说，信号经小波变换之后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其实在信号边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。因此，可以考虑利用小波系数在不同尺度上对应点出的相关性来确定是信号系数还是噪声系数，从而进行取舍，这样处理后的小波系数基本上对应着信号的边缘，达到了滤波的目的。
Xu基于上述原理提出了空域相关滤波算法，信号的突变点在不同尺度的同一位置都有较大的峰值出现，噪声能量却随着尺度的增大而减小。因此，可以取相邻尺度的小波系数直接相乘进行计算，这样做相关计算将在锐化信号边缘与其他重要特征的同时制噪声，而且能够提高信号主要边缘的定位精度，更好地刻画真实信号。
1.2.3小波阈值滤波
小波阈值滤波，主要依据幅值较大的系数由重要信号这一假设来滤波。该方法认为，小波变换能将信号的能量集中到少数小波系数上，而白噪声在任何正交基上的变换仍然是白噪声，并且有着相同的幅度。相对而言，信号的小波系数值必然大于那些能量分散且幅值较小的噪声的小波系数值。因此，选择一个合适的阈值，对小波系数进行阈值处理，就可以达到去除噪声而保留有用信号的目的[5]。
小波阈值滤波方法是实现最简单、计算量最小的一种方法，因而应用最广泛。本文着重介绍小波阈值滤波方法。
小波阈值去噪的主要理论依据：在小波域内，信号的能量集中在一些较大的小波系数中，而噪声的能量却分布于整个小波域。因此，信号的小波系数幅值要大于噪声的小波系数幅值，可以采用一定的阈值将信号系数保留而将噪声系数置零或萎缩。
小波阈值滤波的基本思路是：
利用小波分析方法进行降噪的工作内容包括3个方面：（1）小波基选择；（2）阈值选择；（3）信号重构
1.2.3.1小波基的选择
不同小波基对信号的描述不同。对信号小波变换时，总希望所选小波基能同时具有下列性质：对称或反对称；较短的支撑；正交性；较高的消失矩。然而要使一个小波基同时具有以上特性往往不现实，在应用中只能根据具体要求选择合适的小波基。一般来说，一种小波基能很好描述某一类信号特征，但只对信号低频部分反复分解。而小波包可同时对信号的低频和高频部分分解，适用于细小边缘或纹理较多的图像。Cohen等将小波包和平移不变小波变换结合，提出平移不变小波包滤波方法，并给出相应的阈值公式[6]。多小波是单小波的发展，既保持了单小波良好的时频局部化特性，又将对称性、正交性、光滑性、紧支性等性质结合在一起，弥补了单小波的不足。对信号滤波时，可避免将一些特征模糊化[7]。Felix等构造的复数小波变换，具有近似的平移不变性、良好的方向选择性和线性相位等优点，并能获得信号的相频特性[8]。
随着小波滤波理论研究的深入，若能做到按信号特征，自适应选择小波基，则对信号描述的效果将会得到较大改善。根据含噪信号特征，结合任务要求，或使用某种优化准则，优化小波函数的设计；或从已给定的小波基中，选择最优小波基，使之最有效地表示信号。采用提升方法构造二代小波，可在变换时，根据信号特征利用提升框架自适应地构造小波基[8]。最后需要指出的是：综合考虑算法的简繁程度和滤波效果，上述任何一种小波变换都不具有绝对优势，在实际应用中含噪信号的具体特征仍是选择小波基的首要因素。
1.2.3.2阈值的选择
小波域阈值滤波中，如何确定阈值是一个关键问题。目前有大量文献提出不同的阈值确定方法[9]：通用（universal）阈值、极小化风险阈值、假设检验法和BayesShrink阈值等。
c∈[3.0，4.0]是合理的[10]。
（2）极小化风险阈值极小化风险阈值即均方差（MeanSquareError，MSE）意义下的最优阈值。MSE函数描述了滤波结果与真实信号在均方意义下的偏离程度。目前主要有SURE法、交叉验证算法和广义交叉验证算法估计
MSE函数。
（a）SURE（Stein’sUnbiasedEstimatorofRisk）法
SURE函数是MSE函数的无偏估计。故极小化SURE函数得到的阈值为最优阈值的无偏估计。
（b）交叉验证（Cross-Validation，CV）算法[11]
CV算法是一种基于MSE准则确定最优阈值的法。可根据实际问题需要自适应选取估计准则。
（c）广义交叉验证（GeneralizedCross-Validation，GCV）算法[12]
GCV算法以SURE为基础，性能优于CV算法。GCV有偏，偏差为，但得到的最优阈值无偏。
（3）多假设检验法阈值处理过程可看作是一个多假设检验过程。在满足给定错误发现率（FalseDiscoveryRate，FDR）上界的前提下，最优阈值使所保留的系数个数达到极大值。该方法可解释通用阈值依赖于信号长度的现象。其局
限性在于：如何给定FDR，将信号误判为噪声的情况亦考虑在内。
（4）BayesShrink阈值主要针对二维图像提出[11]。假设自然图像的小波系数服从GGD分布，极小化贝叶斯风险得到阈值。其中，为噪声方差，为GGD分布的方差。
若阈值在整个滤波过程中固定不变，对所有小波系数采用相等的阈值进行处理，可称为全局阈值；而自适应阈值根据小波系数的局部特征进行阈值化处理，最简单的是可以适应于不同尺度上系数特征的阈值[1]。
阈值选择是进行小波降噪的关键，不同的阈值降噪出来的结果不同。阈值选择包括软阈值和硬阈值选择，不同的阈值选择方法对信号的处理结果不同。可以针对每个细节信号进行独自的阈值选择，也可以采用统一的阈值进行选择。阈值采用
硬阈值降噪
该阈值函数在整个小波域内是不连续的，在λ和−λ存在间断点，这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾，具有一定的局限性；同时，它只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符。
软阈值降噪
其中为符号函数。虽然该阈值函数在小波域内是连续的，不存在间断点问题，但它的导数是不连续的，因而在求高阶导数时存在困难。并且软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量是随着小波系数增大而逐渐减少的趋势不相符。
图2阈值降噪
图3阈值选择系数
2案例分析
下面对振动信号进行了降噪处理。图4和图5为对故障信号采用了统一的阈值进行了软阈值降噪的时域图、包络图及幅值谱图。对比去噪前后的两个图以看出降噪后能更好的显示出振动的冲击能量。降噪后信号的幅值谱图和包络谱图的变化很小，而冲击成分更清晰的显示出来，因此利用小波滤波方法能够很好的提取信号中的冲击成分。图6和图7为硬阈值对故障信号的处理结果，阈值选择的不同造成处理的结果不同，从图中看出经过降噪后只留下了冲击成分。
图4统一软阈值降噪后时域波形对比图
图5滤波前后包络谱和幅值谱的对比图
图6大阈值降噪后的时域波形对比图
图7大阈值降噪后的包络和频谱对比图
3结论
本文验证了，硬阈值方法可以很好地保留图像边缘和细节等局部特征，但图像会出现振铃，伪Gibbs效应等视觉失真现象，而软阈值处理结果则相对平滑的多。
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