论文摘要
1990年,Pardoux和Peng[1]给出了一般形式的非线性倒向随机微分方程的解的存在唯一性证明.这一成果奠定了倒向随机微分方程的理论研究基础.随后,众多学者开始对倒向随机微分方程进行更为深入的研究.陆续发现了倒向随机微分方程在金融数学,随机控制,生物学,金融期货市场,风险度量,偏微分方程理论和随机博弈等领域的应用.然而通常情况下,我们很难找到倒向随机微分方程的解析解的显式表达,因此探究倒向随机微分方程的数值解法对于相关的理论研究和实际应用有十分重要的意义.Sinc方法是一种具有指数阶精度的数值方法,其在进行插值逼近,微分近似和积分近似上都有很高的精度.近些年关于Sinc方法的应用成果体现出了 Sinc方法在插值逼近,以及积分微分逼近上指数阶收敛的独特优势.为此我们在本文中研究如何使用Sinc方法求解倒向随机微分方程,并体现这种方法的优势.本文主要创新之处在于使用Sinc方法求解倒向随机微分方程.在求解倒向随机微分方程时,通过使用Sinc积分公式来近似条件数学期望求解倒向随机微分方程,提出了求解倒向随机微分方程的Sinc全离散格式,并且通过合理的选取时间空间步长与Sinc积分中的参数,提出了不需要空间插值的Sinc全离散格式.然后我们给出了这两种Sinc全离散格式的理论误差估计,最后我们通过大量的数值实验验证的我们的结论,数值实验结果与理论分析结果相一致.下面我们列出本文的主要框架和主要结果:第一章;介绍研究问题的背景,研究现状和文章的整体写作思路.第二章:介绍与随机分析,倒向随机微分方程相关的一些基础知识,包括概率空间,条件期望,Ito积分和非线性Feynman—Kac公式等.第三章:介绍Sinc方法,包括Sinc级数展开,Siinc函数近似,积分近似并给出一些数值算例.第四章:使用Sinc方法来求解倒向随机微分方程,通过Sinc积分公式来近期条件数学期望,提出了基于Siinc方法求解倒向随机微分方程的全离散格式.格式0.1.给定终端条件（yiN,ziN）,对n=N-1,…,0,通过以下方程求解yin和zin:上述格式中,Etnxi[·]表示使用Sinc积分来近似条件数学期望,yn+1和zn+1分别为非网格点xi+Wtn+1-Wtn处插值求得的值.通过合理的选取参数,令Sinc积分公式中的参数h与时间步长和空间步长满足h·（?）=△x,此时计算条件期望时用到的点均落在上一层的网格点上,计算条件期望不需要进行插值,并给出这种参数选取下不需要进行空间插值的Sinc全离散格式.格式0.2.给定终端条件（yiN,ziN）,在h·（?）=△x的条件下,对n = N-1,…,0,通过以下方程求解yin和zin:上述格式中,Etnxi[·]表示在h·（?）=△x的条件下使用Sinc积分来近似条件期望的形式,yn+1和zn+1分别为网格点xi+k（k=-M,…,M）处的值.第五章:对第四章中提出的两种Sinc全离散格式做理论误差分析,在下面的定理中,我们给出生成元不依赖于z的倒向随机微分方程的Sinc全离散格式的误差估计.定理0.1.令（yt,zt）表示BSDE（5.1）解析解并且令（yin,zin）表示全离散格式0.1使用线性插值时的数值解.则对于一般的全离散格式θ∈[0,1],有特别的,对于θ=1/2时的全离散格式（Crank-Nicolson格式）,我们有对于θ=1时的全离散格式,有定理0.2.令（yt,zt）表示BSDE（5.1）解析解并且今（yin,zin）表示全离散格式0.2的数值解,在选取参数满足h·（?）=△x时,对于一般的全离散格式θ∈[0,1],有特别的,对于θ=1/2时的全离散格式（Crank-Nicolson格式）,我们有对于θ= 1时的全离散格式,有第六章:通过大量数值实验验证Sinc方法求解BSDEs的准确性和稳定性,并对实验结果进行总结,且实验结果与理论分析结果相符.第七章:对全文的总结,以及问题的展望.
论文目录
文章来源
类型: 硕士论文
作者: 张宇
导师: 赵卫东
关键词: 倒向随机微分方程,方法,全离散格式,误差估计,数值分析
来源: 山东大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 山东大学
分类号: O211.63
总页数: 83
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标签：倒向随机微分方程论文; 方法论文; 全离散格式论文; 误差估计论文; 数值分析论文;