多维第一类Fredholm积分方程数值解研究

论文摘要

多维第一类Fredholm积分方程在数学物理和科学技术领域有着广泛的应用.但由于此类问题本身的不适定特点以及高维数的复杂性,给研究带来很大困难,因此,探寻稳定高效的数值求解方法有着十分重要而深远的意义.本文主要以二维及三维第一类Fredholm积分方程为研究背景,对其数值求解方法进行了分析研究.论文的主要研究工作如下:（1）对第一类Fredholm积分方程的国内外发展状况、存在问题及本文的研究工作做出详细安排,并给出了相关预备知识.（2）利用数值积分公式,将二维、三维第一类Fredholm积分方程离散成线性系统,给出了详细过程.（3）将两类重要的微分方程（热传导方程、泊松方程）反问题化归为二维第一类Fredholm积分方程,给出了基于Kryov子空间的两种迭代算法（RRGMRES、CGLS）,并对计算结果进行了比较分析.（4）利用最大熵正则化算法及基于k步迭代的v-方法研究了三维第一类Fredholm积分方程.以此为基础,给出了一类三维热传导方程反问题的数值求解方法,并进行了数值模拟,结果对比表明,所提出的方法是可行有效的.

论文目录

• 摘要
• abstract
• 1 绪论
•   1.1 课题的研究背景和意义
•   1.2 积分方程的来源与发展
•   1.3 多维第一类Fredholm积分方程的研究现状
•   1.4 本文主要研究工作
• 2 预备知识
•   2.1 积分方程的概念与分类
•   2.2 多维第一类Fredholm积分方程反问题及其不适定性
•   2.3 基本定义与定理
•   2.4 本章小结
• 3 实对称核第一类Fredholm积分方程的两种解析解法
•   3.1 Schmidt-Picard定理
•   3.2 逐次逼近法
•   3.3 本章小结
• 4 二维第一类Fredholm积分方程的数值求解
•   4.1 二维第一类Fredholm积分方程的离散
•   4.2 二维第一类Fredholm积分方程的解法—Krylov子空间法
•     4.2.1 限制值域广义极小残余算法（RRGMRES）
•     4.2.2 共轭梯度最小二乘迭代算法（CGLS）
•   4.3 数值算例
•     4.3.1 数值算例1
•     4.3.2 数值算例2
•     4.3.3 数值算例3
•   4.4 本章小结
• 5 三维第一类Fredholm积分方程的数值求解
•   5.1 三维第一类Fredholm积分方程的离散
•   5.2 三维第一类Fredholm积分方程的解法
•     5.2.1 最大熵正则化算法
•     5.2.2 ν-方法
•   5.3 数值算例
•     5.3.1 数值算例1
•     5.3.2 数值算例2
•   5.4 本章小结
• 6 结论与展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 党香燕

导师: 闵涛

关键词: 积分方程,数值积分,不适定问题,热传导方程,泊松方程

来源: 西安理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 西安理工大学

分类号: O241.83

总页数: 64

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